Klasyczne kwaterniony Hamiltona - Classical Hamiltonian quaternions

William Rowan Hamilton wynalazł quaternions , matematyczny podmiot w 1843 roku W tym artykule opisano oryginalną leczenie Hamiltona z kwaterniony, używając jego notacji i warunki. Leczenie Hamiltona jest bardziej geometryczny niż nowoczesne podejście, które podkreśla kwaterniony algebraiczne właściwości. Matematycznie kwaterniony omówione różnią się od nowoczesnych definicji jedynie terminologii, która jest stosowana.

klasyczne elementy o kwaterniony

Hamilton kwaternion zdefiniowany jako iloraz dwóch skierowanych w linii trój wymiarową przestrzeń; lub, bardziej ogólnie, jako iloraz dwóch wektorów.

Quaternion może być reprezentowana jako suma a skalarne i wektorowe . Może również być reprezentowana jako iloczyn jego tensora i jego versor .

Skalarny

Hamilton wynalazł utrzymujące skalarne dla liczb rzeczywistych , ponieważ obejmują one „skalę progresji od plus do minus nieskończoności” i dlatego stanowią one „porównywanie pozycji na jednej wspólnej skali.” Hamilton uznać zwykły skalarnego algebrę jako naukę czystego czasu.

Wektor

Hamilton zdefiniowany wektor jako „właściwej linii ... mający nie tylko długość, ale także kierunek”. Hamilton pochodzi słowo wektor od łacińskiego vehere , do przeprowadzenia.

Hamilton pomyślany jako wektor „różnicą dwóch skrajnych punktów.” Hamilton, wektor zawsze jednostka trójwymiarowy, w trzy koordynuje względem danego układu współrzędnych, w tym, ale nie ogranicza się do dwóch polarnych i prostokątnych systemów. Dlatego też, o którym mowa wektorów jako „trójek”.

Hamilton zdefiniowane dodanie wektorów w sensie geometrycznym, umieszczając początek drugiego wektora na końcu pierwszego. Udał się do zdefiniowania wektora odejmowanie.

Przez dodawanie wektorowe do siebie wielokrotnie zdefiniował namnożenie wektora przez liczbę całkowitą , a następnie rozszerza ją dzielenia przez liczbę całkowitą, i mnożenia (i dzielenie) wektora przez liczby wymiernej. Wreszcie, poprzez granice zdefiniował wyniku przemnożenia wektora według dowolnego alfa skalarnej X jako p wektora w tym samym kierunku, jak a jeśli x jest dodatni; w kierunku przeciwnym do a jeśli x jest ujemny; a długość to | x | razy długość a.

Iloraz dwóch równoległych lub anty-równolegle wektorów zatem skalarne o wartości bezwzględnej równej stosunkowi długości dwóch wektorów; skalarna jest dodatni, jeśli wektory są równoległe i ujemny, jeśli są one anty-równolegle.

Wektor jednostkowy

Jednostkowym wektorem jest wektor o długości jeden. Przykłady wektorów jednostkowych obejmują I, J i K.

Napinacz

Uwaga: Użycie słowa tensora przez Hamiltona nie pokrywa się z nowoczesnej terminologii. Hamiltona tensor jest rzeczywiście wartość bezwzględna na algebrze kwaternionów, co sprawia, że przestrzeń unormowana .

Hamilton zdefiniowane tensor jako dodatnia numerycznej, lub, właściwie, numer signless. Tensora można traktować jako pozytywny skalarne. W „tensor” można traktować jako reprezentujące „współczynnik rozciągania.”

Hamilton wprowadził termin tensor w swojej pierwszej książce, Wykłady na kwaterniony, na podstawie wykładów dał wkrótce po wynalezieniu przez kwaterniony:

• wydaje się wygodne, aby powiększyć z definicji istotności nowe słowo tensora, tak aby uczynić go w stanie w tym także te inne przypadki, w których prowadzimy działalność na linii poprzez zmniejszenie zamiast zwiększenia jego długości; i na ogół, że zmieniając długość określonego w dowolnym stosunku. Będziemy w ten sposób (jak to zasugerował na koniec danego towaru) mają ułamkowe i nawet niewspółmierne tensorów, który będzie po prostu mnożniki numeryczne, a wszystko będzie dodatni lub (mówiąc bardziej poprawnie) Numery SignLess , czyli bez ubrania z algebraicznej objawy pozytywne i negatywne  ; dlatego, że w pracy tutaj pod uwagę, możemy abstrahować od kierunków (jak również od sytuacji) na liniach, które są porównywane lub operowanych.

Każdy kwaternion ma tensor, który jest miarą jej ilości (w taki sam sposób, jak długość wektora jest miarą wielkości dla wektorów). Gdy kwaternion jest zdefiniowany jako iloraz dwóch wektorów, jego napinacz jest stosunek długości tych wektorów.

Versor

Versor jest kwaternion z tensora 1. Alternatywnie versor może być zdefiniowany jako iloraz dwóch wektorów równej długości.

Na ogół versor definiuje wszystkie z poniższych: a osią kierunkową; płaszczyzna normalna do tej osi; i kąta obrotu.

Kiedy versor i wektor, który leży w płaszczyźnie versor są mnożone, wynik jest nowy wektor o tej samej długości, ale okazało przez kąta versor.

wektor łuk

Ponieważ każda jednostka wektor może być traktowane jako punkt na jednostce sfery , a ponieważ versor mogą być traktowane jako iloraz dwóch wektorów, A versor posiada reprezentatywny koła wielkiego łuku, zwany łuk wektor , łącząca te dwa punkty, pochodziły z dzielnika lub dolnej części iloraz do dywidendy lub górnej części ilorazu.

prawo versor

Kiedy łuku versor ma wielkość w odpowiednim kątem , to się nazywa prawo versor , o prawo promieniowy lub ćwiartki okręgu versor .

zdegenerowane formy

Dwa specjalne zdegenerowany versor przypadkach, zwane unit-skalary Te dwa skalary, negatywne i pozytywne jedność może być traktowane jako skalarnych kwaterniony . Te dwa skalarne to przypadki graniczne, co odpowiada wersorów o kącie zero lub Õ.

W przeciwieństwie do innych wersorów, te dwa nie może być reprezentowany przez unikalną łuku. Łuk z nich jest jeden punkt, a jeden minus może być reprezentowana przez nieskończoną liczbę łuków, ponieważ istnieje nieskończona liczba najkrótszych linii między antypodyczne punktach kuli.

Kwaternion

Każdy quaternion może być rozłożona na skalara i wektora.

${\ Displaystyle q = \ mathbf {s} (P) + \ mathbf {V} (P)}$

Te dwie operacje S i V są nazywane „wziąć skalara z” i „wziąć wektor” a kwaterniony. Część wektora kwaterniony nazywany jest również w prawej części.

Każdy quaternion jest równa versor pomnożonej przez tensor z kwaterniony. Oznaczając versor o kwaterniony przez

${\ Displaystyle \ mathbf {u} Q}$

i tensor z kwaterniony przez

${\ Displaystyle \ mathbf {T} Q}$

mamy

${\ Displaystyle q = \ mathbf {T} Q \ mathbf {u} Q}$

prawo quaternion

Prawo quaternion jest quaternion którego składnikiem skalarny wynosi zero,

${\ Displaystyle S (Q) = 0}$

Kąt prawej kwaterniony wynosi 90 stopni. Prawo quaternion może być również traktowane jako Vector plus zero skalara. Prawo kwaterniony można umieścić w tak zwanym standardowy formularz trójmian. Na przykład, jeżeli Q jest słuszną quaternion, można zapisać jako:

${\ Displaystyle P = XI + + YJ Zk}$

cztery operacje

Cztery operacje mają fundamentalne znaczenie w notacji kwaternionów.

+ - x ÷

W szczególności ważne jest, aby zrozumieć, że nie ma jednej operacji mnożenia, pojedyncza operacja podziału, a pojedynczy operacje dodawania i odejmowania. Ten pojedynczy operator mnożenia może działać na każdym z typów jednostek matematycznych. Podobnie każdy rodzaj jednostki, mogą być podzielone dodawane lub odejmowane od dowolnego typu jednostkę. Zrozumienie znaczenia symbolu odejmowania jest krytyczna w teorii kwaternionów, ponieważ prowadzi do zrozumienia koncepcji wektora.

operatorzy porządkowe

Te dwie operacje porządkowe w notacji klasycznej kwaternionów się dodawanie i odejmowanie i + i -.

Znaki te są następujące:

„... cechy syntezę i analizę stanu zaawansowania, jak według tego stanu jest uważany jako pochodzący z lub, w porównaniu z innym stanem że postęp”.

Odejmowanie

Odejmowanie jest rodzajem analizy zwana analiza porządkowa

... niech teraz przestrzeń być traktowane jako pole progresji, która ma być badana, a punkty jako stany tej progresji. ... Jestem skłonny uważać słowo „minus” lub znaku - w geometrii, jak znak lub charakterystyka analizy jednej pozycji geometrycznej (w przestrzeni), w porównaniu z innym (takie) pozycji. Porównanie jednego punktu matematycznego z innym w celu określenia, co można nazwać ich relacja porządkowej lub ich względne położenie w przestrzeni ...

Pierwszy przykład odejmowania jest, aby punkt A reprezentuje ziemię, a punkt B oznaczają słońce, a następnie wyciągnąć z strzałką A do B oznacza czynność przesuwania lub vection od A do B.

B - a

Jest to pierwszy przykład na wykładach Hamiltona wektora. W tym przypadku akt podróży z Ziemi na Księżyc.

Dodanie

Dodawanie to rodzaj analizy zwana syntezą porządkowej.

Dodawanie wektorów i skalarów

Wektory i skalarne mogą być dodawane. Gdy wektor wprowadza się do skalarną zupełnie innej jednostki, tworzony jest kwaternion.

Wektor plus skalarne jest zawsze quaternion nawet jeśli skalarny wynosi zero. Jeśli doliczyć do skalarne wektora jest zerem wtedy nowy quaternion produkowana jest nazywany prawo quaternion. Posiada charakterystyczny kąt 90 stopni.

operacje kardynalne

Te dwie operacje Cardinal w notacji kwaternionów są geometryczne mnożenie i dzielenie geometryczne i można zapisać:

÷ x

Nie jest wymagane, aby dowiedzieć się więcej zaawansowanych następujące warunki, aby wykorzystać podział i mnożenie.

Podział jest rodzajem analizy nazywa analizy kardynał. Mnożenie jest rodzajem syntezy zwane syntezy kardynalnej

Podział

Klasycznie kwaternion był postrzegany jako stosunek dwóch wektorów, zwany frakcję geometryczne.

Jeśli OA i OB stanowią dwa wektory wyciągnięte z wyjściowego O dwóch innych punktach A i B, a następnie frakcja została zapisana jako geometryczne

${\ OA displaystyle: OB}$

Alternatywnie, gdy dwa wektory są reprezentowane przez a i β iloraz została zapisana jako

${\ Displaystyle \ a \ dz \ p}$

lub

${\ Displaystyle {\ Frac {\ {alfa} \ p}}}$

Hamilton stwierdza: „iloraz dwóch wektorów jest ogólnie kwaternion”. Zajęcia na Quaternions również pierwszy przedstawia koncepcję kwaterniony jako iloraz dwóch wektorów:

Logicznie i definicji,

Jeśli ${\ Displaystyle {\ Frac {\ {alfa} \ p}} = P}$

potem . ${\ Displaystyle {Q} \ razy {\ p} = \ a.}$

W rachunku Hamiltona produkt nie jest przemienna , czyli kolejność zmiennych ma wielkie znaczenie. Jeśli zamówienie q i p są zostać odwrócony efekt nie będzie na ogół, α. Kwaternion Q mogą być traktowane jako podmiot, który zmienia się p do a, poprzez najpierw obracanie go dawniej akt wersji a następnie zmieniając długość nim poprzednio wywołania akt napięcia .

Również w definicji iloraz dwóch wektorów jest równa licznik razy wzajemnych w mianowniku . Ponieważ mnożenie wektorów nie jest przemienne, zamówienie nie może być zmieniony w następujący wypowiedzi.

${\ Displaystyle {\ Frac {\ {alfa} \ p}} = \ {\ a} \ razy {\ Frac {1} {\ p}}}$

Znowu kolejność dwóch ilościach na prawej stronie jest znacząca.

Hardy zawiera definicję podziału pod względem mnemotechnicznych zasad rezygnacji. „Anulowanie wykonywanych przez górę prawej udaru”.

Jeśli alfa i beta są wektorami, a q jest takie, że quaternion

${\ Displaystyle {\ Frac {\ {alfa} \ p}} = P}$

następnie ${\ Displaystyle \ a \ p ^ {- 1} = P}$

i ${. \ Displaystyle {\ Frac {\ {alfa} \ p}} \ p = \ a \ p ^ {. - 1} \ p = \ a}$

${\ \ Displaystyle razy}$i są odwrotne operacje, takie, że:${\ Displaystyle \ dz}$

${\ Displaystyle \ p \ dz \ a \ razy \ = a \ beta}$ i ${\ Displaystyle q \ razy \ a \ dz \ a = Q}$

i

${\ \ Displaystyle gamma = (\ y \ dz \ beta) \ razy (\ p \ dz \ a) \ razy \ a}$

W istotny sposób, że Q jest operatora, który zmienia się p a, najpierw obraca się ( Wersja ), a następnie zmieniając długość (naprężenia).

${\ Displaystyle \ y \ dz \ alfa = (\ y \ dz \ beta) \ razy (\ p \ dz \ a)}$

Podział wektorów jednostkowych i , j , k

Wyniki badań za pomocą operatora podziałka I, J i K w sposób następujący.

${\ Ij displaystyle = k}$	${\ Displaystyle {\ frac {k} {j}} = i}$
${\ Displaystyle JK = l}$	${\ Displaystyle {\ frac {i} {k}} = j}$
${\ Displaystyle Ki = J}$	${\ Displaystyle {\ frac {j} {i}} = k}$
${\ Displaystyle ji = -k}$	${\ Displaystyle {\ {Frac-k} {i}} = J}$
${\ Displaystyle kJ = -i}$	${\ Displaystyle {\ frac {-i} {j}} = k}$
${\ Displaystyle Ik = -j}$	${\ Displaystyle {\ -j Frac {} {k}} = l}$
${\ Displaystyle I (-j) = k -}$	${\ Displaystyle {\ {Frac-k} {-}} = J i}$
${\ Displaystyle I (-k) = J}$	${\ Displaystyle {\ frac {j} {-}} k = i}$
${\ Displaystyle K (-i) = - J}$	${\ Displaystyle {\ -j Frac {{} - I}} = k}$
${\ Displaystyle K (-j) = I}$	${\ Displaystyle {\ frac {i} {-}} j = k}$
${\ Displaystyle J (-k) = - I}$	${\ Displaystyle {\ frac {-i} {-}} k = j}$
${\ Displaystyle J (-i) = k}$	${\ Displaystyle {\ frac {k} {-}} i = j}$

Odwrotność wektor jednostkowy jest wektorem odwrócone.

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {i} ^ i} = {- 1} = - I}$

Ponieważ wektor jednostkowy i jego wzajemne są równoległe względem siebie, lecz w przeciwnych kierunkach punktu iloczyn wektora urządzenie i wzajemny mają szczególny przypadek przemiennych właściwości, na przykład, jeśli urządzenie jest każdy wektor wówczas:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {A}}: a = (- a). A = 1 = a (-a) = a {\ Frac {1} {A}}}$

Jednakże, w bardziej ogólnym przypadku obejmującym więcej niż jeden wektor (czy nie jest to wektor jednostkowy) właściwość przemienna nie trzyma. Na przykład:

${\ Displaystyle i {\ frac {k} {i}}}$ ≠ ${\ Displaystyle {\ frac {k} {i}} i.}$

To dlatego, że K / I jest dokładnie zdefiniowana jako:

${\ Displaystyle {\ Frac {k} {i}} k = {\ Frac {1} {i}} = ki ^ {- 1} = K (-i) = - (Ki) = - (j) = - jot}$,

Po to aby:

${\ Displaystyle I {\ Frac {k} {i}} = I (-j) = k -}$,

jednak

${\ Displaystyle {\ Frac {k} {i}} i = (- J) I = - (ji) = - (- k) = k}$

Podział dwóch równoległych wektorów

O ile w ogóle iloraz dwóch wektorów jest kwaternion, Jeśli α i β dwa równoległe wektory następnie ilorazem tych wektorów jest skalar. Na przykład, jeśli

${\ Displaystyle \ a = ai}$,

a następnie ${\ Displaystyle \ p = bi}$

${\ Displaystyle \ a \ dz \ p = {\ Frac {\ {alfa} \ p}} = {\ Frac {ai} {bi}} = {\ Frac {A} {b}}}$

Gdzie a / b jest skalarne.

Podział dwóch nierównoległych wektorów

Iloraz z wektorami jest w ogóle kwaterniony:

${\ Displaystyle P = {\ Frac {\ alpha} {\ p}}}$${\ Displaystyle = {\ Frac {t \ {alfa} t \ p}} (\ bo \ cp + \ epsilon \ sin \ fi)}$

Gdzie α i β dwa nierównoległe wektory φ jest to, że kąt pomiędzy nimi, a E jest wektorem jednostkowym prostopadle do płaszczyzny alfa wektorów oraz p, z kierunku określonym przez normy reguły prawej dłoni.

Mnożenie

Klasyczna notacja quaternion miał tylko jedną koncepcję mnożenia. Mnożenie dwóch liczb rzeczywistych dwóch liczb urojonych lub liczbę rzeczywistą numerem urojonej w klasycznej notacji to samo działanie.

Mnożenie skalarną i wektor przeprowadzono z tym samym operatorem jednym rozmnażania; mnożenie dwóch wektorów quaternions stosować tę samą operację tak jak mnożenie kwaterniony i wektor lub dwa quaternions.

Czynnikiem, Faciend i Factum

Współczynnik x Faciend = Factum

Kiedy dwie wielkości są mnożone pierwsza ilość nazywa czynnik, druga wielkość jest nazywana faciend a wynik jest nazywany factum.

Dystrybucyjny

W notacji klasycznej mnożenia rozdzielcze . Zrozumienie tego ułatwia dlaczego iloczyn dwóch wektorów w notacji klasycznej produkowane kwaternion.

${\ Displaystyle q = (ai + bj ck +) \ razy (EI + FJ + GK)}$

${\ Displaystyle q = AE ({i} \ razy {i}) + AF ({i} \ razy {j}) + AG ({i} \ razy {k}) + być ({j} \ razy {i }) + bf ({j} \ razy {j}) + BG ({j} \ razy {k}) + SD ({k} \ razy {i}) + CF ({k} \ razy {j}) + CG ({k} \ razy {k})}$

Korzystanie z Kwaterniony mnożenia stół mamy:

${\ Displaystyle q = AE (1) + AF (+ H) + AG (-j) + być (-k) + bf (-1) + BG (+ l) + SD (+ j) + CF (- I) + CG (-1)}$

Potem zbieranie warunki:

${\ Displaystyle q = -ae BF-CG + (BG-d) l + (CE-AG) j + (af będzie) K}$

Pierwsze trzy terminy są skalarne.

Wakacyjne

${\ Displaystyle w = -ae-Bf-cg}$

${\ Displaystyle x = (BG-d)}$

${\ Displaystyle Y = (CE-AG)}$

${\ Oo displaystyle = (af będzie)}$

Tak, że iloczyn dwóch wektorów jest quaternion i może być zapisana w postaci:

${\ Displaystyle q = W + xi + yj + zk}$

Iloczyn dwóch prawych kwaterniony

Iloczyn dwóch prawych kwaterniony jest ogólnie quaternion.

Niech α i ß być odpowiednie kwaterniony wynikające z podejmowania wektory dwóch kwaterniony:

${\ Displaystyle \ = a \ mathbf {V} P}$

${\ Displaystyle \ p = \ mathbf {V} Q}$

Ich produkt w ogóle jest nowy quaternion reprezentowany tutaj przez r. Ten produkt nie jest niejednoznaczny, ponieważ zapis klasyczny ma tylko jeden produkt.

${\ Displaystyle r = \ \ \ alpha beta;}$

Podobnie jak wszystkie quaternions R może teraz zostać rozłożona na jego wektora i skalarnych części.

${\ Displaystyle r = \ mathbf {Si} r + \ mathbf {V} r}$

Określenia dotyczące prawa nazywane są skalarne produktu , a wektor produktu dwóch prawych kwaterniony.

Uwaga: „skalarne produktu” odpowiada euklidesowa iloczyn skalarny dwóch wektorów do zmiany znaku (mnożenie do -1).

Inni operatorzy w szczegółach

Skalarne i wektorowe

Dwa ważne zadania w dwóch klasyczny system zapisu kwaternion były S (Q) i V (q), co oznacza się skalarnych część i ma urojoną część, co Hamilton określane jako część wektora kwaterniony. Tu S i V są podmioty działające na q. Nawias może zostać pominięty w tego rodzaju wyrażeń bez dwuznaczności. Notacja klasyczny:

${\ Displaystyle q = \ \ mathbf {S} Q + \ mathbf {V} Q}$

Tutaj q jest quaternion. S Q jest skalar z kwaterniony podczas V Q jest wektorem kwaterniony.

Sprzężony

K jest operatorem koniugatu. Koniugat o kwaterniony jest kwaternion uzyskuje się mnożąc udział wektor pierwszego kwaterniony jeden minus.

Jeśli

${\ Displaystyle q = \ \ mathbf {S} Q + \ mathbf {V} Q}$

następnie

${\ Displaystyle \ mathbf {k} q = \ mathbf {s} \ Q- \ mathbf {V} Q}$,

Ekspresja

${\ Displaystyle r = \ \ mathbf {k} Q}$,

oznacza, przypisać kwaternion r wartość koniugatu q kwaternionów.

Napinacz

T jest operatorem napinacz. Zwraca rodzaj numeru zwanego tensor .

Tensor pozytywnej skalara jest skalarne. Tensor negatywnego skalara jest wartość bezwzględna z skalara (czyli bez znaku ujemnym). Na przykład:

${\ Displaystyle \ mathbf {T} (5) = 5}$

${\ Displaystyle \ mathbf {T} (-5) = 5}$

Tensor wektora jest z definicji długość wektora. Na przykład, jeżeli:

${\ Displaystyle \ a = XI + + YJ Zk}$

Następnie

${\ Displaystyle \ mathbf {T} \ a = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + Z ^ {2}}}}$

Tensor wektora jednostkowego jest jeden. Ponieważ versor wektora jest wektorem jednostkowym, tensor z versor dowolnego wektora jest zawsze równy jedności. Symbolicznie:

${\ Displaystyle \ mathbf {JT} \ a = 1}$

Kwaternion definicji jest iloraz dwóch wektorów i napinacz z kwaterniony definicji jest ilorazem tensorów tych dwóch wektorów. Symbolami:

${\ Displaystyle P = {\ Frac {\ alpha} {\ p}}.}$

${\ Displaystyle \ mathbf {T} = P {\ Frac {\ mathbf {T} \ a} {\ mathbf {T} \ p}}.}$

Z tej definicji można wykazać, że użyteczne formuła tensora z kwaterniony jest:

${\ Displaystyle \ mathbf {T} = P {\ sqrt {W ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + Z ^ {2}}}}$

Można także wykazać, z tą definicją, że inny wzór uzyskania tensor z kwaterniony jest ze wspólnej normy określonej jako iloczyn kwaterniony i jego koniugatu. Pierwiastek wspólnej normy w kwaterniony jest równa jej tensora.

${\ Displaystyle \ mathbf {T} = P {\ sqrt {qKq}}}$

Przydatnym tożsamość jest kwadratem tensora o kwaterniony jest równa tensora kwadratu o kwaterniony, tak że nawias może zostać pominięty.

${\ Displaystyle (\ mathbf {T} Q) ^ {2} = \ mathbf {T} (q ^ {2}) = \ mathbf {T} ^ q {2}}$

Również tensory z kwaterniony sprzężonych są równe.

${\ Displaystyle \ mathbf {TK} q = \ mathbf {T} Q}$

Tensor z kwaterniony teraz nazywa swoją normę .

Oś i kąt

Biorąc kąt a nieskalarnych kwaterniony, dała wartość większą od zera i mniejszą π.

Gdy nieskalarnych kwaternion postrzegany jest jako iloraz dwóch wektorów, a oś kwaterniony jest wektorem jednostkowym prostopadłe do płaszczyzny obu wektorów w tej oryginalnej ilorazu w kierunku określonym przez regułę prawej stronie. Kąt nachylenia jest to kąt między wektorami.

W symboli

${\ Displaystyle U = Ax.q}$

${\ Displaystyle \ teta = \ k q}$

Odwrotność

Jeśli

${\ Displaystyle P = {\ Frac {\ alpha} {\ p}}}$

wówczas jego wzajemne określa się jako

${\ Displaystyle {\ Frac {1} P {}} = P {^ - 1} = {\ Frac {\ p} {\ a}}}$

Ekspresja:

${\ Displaystyle {Q} \ \ razy {alfa} \ razy {\ Frac {1} P {}}}$

Odwrotności mają wiele ważnych zastosowań, na przykład obrotów , szczególnie gdy q jest versor. Versor ma łatwy wzór na jego odwrotność.

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(\ mathbf {u} P)}} = \ mathbf {SU} Q \ mathbf {JP} q = \ mathbf KU} P {}$

Słownie odwrotnością a versor jest równa jego koniugatu. Kropki pomiędzy operatorami pokazują kolejność operacji, a także przyczynić się do wskazania, że ​​S i U na przykład, są dwie różne operacje, a nie pojedyncza operacja o nazwie SU.

wspólna norma

Produktem kwaterniony z jego koniugatu jest jej wspólne normą.

Operacja podjęcia wspólnej normę o kwaterniony jest reprezentowany na literę N . Z definicji wspólna norma jest produktem kwaterniony z jego koniugatu. To może być udowodnione, że wspólna norma wynosi do kwadratu tensora o kwaterniony. Jednak ten dowód nie stanowią definicji. Hamilton daje dokładny niezależne definicje zarówno wspólnej normy i tensora. Norma ta została przyjęta zgodnie z sugestiami z teorii liczb, jednak zacytować Hamilton „oni nie często będzie chciał”. Tensor jest ogólnie większą użyteczność. Słowo norma nie pojawia się w Lectures on kwaterniony i tylko dwa razy w spisie treści elementami kwaterniony .

Symbolami:

${\ Displaystyle \ mathbf {N} = Q \ q \ mathbf {k} q = \ (\ mathbf {T} Q) ^ {2}}$

Wspólna norma z versor jest zawsze równa dodatniej jedności.

${\ Displaystyle \ mathbf {NU} q = \ mathbf {u} P. \ Mathbf {KU} q = 1}$

Biquaternions

Liczby rzeczywiste i geometrycznie geometrycznie urojone

W klasycznym kwaternionów literaturze równanie

${\ Displaystyle P ^ {2} = - 1}$

Sądzono mieć nieskończenie wiele rozwiązań, które zostały nazwane geometrycznie rzeczywistym . Rozwiązania te są wektory jednostek, które tworzą powierzchnię modułu kuli.

Geometrycznie prawdziwy quaternion to taki, który może być zapisany jako kombinacja liniowa I , J i K , tak że kwadraty współczynników sumują się do jednego. Hamilton wykazały, że musi być dodatkowe korzenie tego równania w uzupełnieniu do geometrycznie prawdziwych korzeni. Biorąc pod uwagę istnienie wyimaginowanej skalara szereg wyrażeń mogą być zapisywane i podane nazwy własne. Wszystkie te były częścią oryginalnego kwaternionów rachunku Hamiltona. Symbolami:

${\ Displaystyle Q-Q '{\ sqrt {}}} -1$

gdzie q i q 'są prawdziwe kwaterniony i pierwiastek z minus jeden jest wyimaginowany zwykłej algebrze i są nazywane wyimaginowane lub symboliczne korzenie , a nie prawdziwy geometrycznie ilość wektorowych.

Imaginary skalarne

Geometrycznie urojone ilości dodatkowe pierwiastki równaniem o charakterze wyłącznie symbolicznie. W artykule 214 Elements Hamilton dowodzi, że jeśli istnieje i, j oraz k nie musi być również inna ilość h co jest wyimaginowany skalarne, który zauważa, powinien mieć już miejsce dla każdego, kto czytał poprzednich artykułów z uwagą. Artykuł 149 Elements jest o liczbach Geometrycznie zmyślonych i zawiera przypis wprowadzając termin biquaternion . Określenia urojone zwykłej algebrze i skalara wyimaginowanej są czasem wykorzystywane do tych geometrycznie wyimaginowanych ilościach.

Geometrycznie Imaginary korzenie równania były interpretowane jako klasycznego myślenia sytuacjach geometrycznie niemożliwe. Artykuł 214 elementów kwaterniony bada przykład równania linii i koła, które nie przecinają się, jako wskazane przez równanie ma tylko geometrycznie wyimaginowany korzeń.

W późniejszych pismach Hamiltona zaproponował pomocą litery H do oznaczenia wyimaginowany skalarne

Biquaternion

Na stronie 665 Elementy Quaternions Hamilton definiuje biquaternion być kwaternion z liczbę zespoloną współczynników. Skalar częścią biquaternion jest wtedy liczbą zespoloną nazywany biscalar . Część wektora biquaternion jest bivector składa się z trzech składników złożonych. W biquaternions są wówczas complexification oryginalnych (Real) kwaterniony.

Podwójna kwaterniony

Hamilton wynalazł termin asocjacyjne rozróżniania urojonej skalarną (znane już jako liczbę zespoloną ), które jest zarówno przemienne oraz asocjacyjne, a cztery inne możliwe korzenie ujemnej jedności które wyznaczone L, M, N i O, ich wspomnieć krótko Dodatek B Wykłady na kwaterniony oraz w prywatnych listach. Jednak nie asocjacyjne korzenie minus jeden nie pojawiają się w elementach kwaterniony . Hamilton zmarł przed pracował na tych dziwnych podmiotów. Jego syn twierdził, że jest to „łuk na kolejne Ulissesa”.

Zobacz też

• budowa Cayley-Dickson
• Octonions
• twierdzenie Frobeniusa

Przypisy

Referencje

• WR Hamilton (1853), Wykłady o kwaternionyw Google Books Dublin: Hodges i Smith
• WR Hamilton (1866), Elementy kwaternionyw Google Books , wydanie 2, pod redakcją Karola Jasper Joly Longmans Green & Company.
• CO Hardy (1887), Elementy Quaternions
• PG Tait (1890), elementarnym Traktat o kwaterniony , Cambridge: CJ Clay and Sons
• Herbert Goldstein (1980), Mechanika klasyczna , 2nd edition, Library of Congress QA805.G6 numerem katalogowym 1980