Kręgi Apoloniusza - Circles of Apollonius

Te kręgi Apoloniusza to jedne z kilku zestawów kół związanych z Apoloniusz z Perge , znanego greckiego Geometry . Większość z tych kręgów znajduje się w płaskiej geometrii euklidesowej , ale analogi zostały zdefiniowane na innych powierzchniach; na przykład odpowiedniki na powierzchni kuli można określić za pomocą projekcji stereograficznej .

Główne zastosowania tego terminu są pięciokrotne:

  1. Apoloniusz wykazał, że okrąg można zdefiniować jako zbiór punktów na płaszczyźnie, które mają określony stosunek odległości do dwóch punktów stałych, znanych jako foci . To koło apollińskie jest podstawą problemu pościgu Apoloniusza. Jest to szczególny przypadek pierwszej rodziny opisanej w #2.
  2. W apollińskiej okręgi są dwie rodziny wzajemnie prostopadłych kręgach. Pierwsza rodzina składa się z okręgów o wszystkich możliwych stosunkach odległości do dwóch stałych ognisk (takich samych jak w #1), podczas gdy druga rodzina składa się ze wszystkich możliwych okręgów, które przechodzą przez oba ogniska. Okręgi te tworzą podstawę współrzędnych dwubiegunowych .
  3. Te koła Apolloniusza trójkąta, trzy koła, z których każdy przechodzi przez jednego wierzchołka trójkąta i utrzymuje stały stosunek odległości do dwóch pozostałych. W isodynamic punkty i Lemoine linia trójkąta może być rozwiązany za pomocą tych Okrąg Apoloniusza.
  4. Problem Apoloniusza polega na skonstruowaniu okręgów, które są jednocześnie styczne do trzech określonych okręgów. Rozwiązania tego problemu nazywane są czasami kręgami Apoloniusza .
  5. Apollińskie uszczelka onu z pierwszym fraktalach opisuję-to zestaw wzajemnie stycznych koła, tworzonych przez rozwiązanie problemu Apollonius' iteracyjnie.

Definicja koła Apoloniusza

Rysunek 1. Definicja koła Apoloniusza.

Okrąg definiuje się zwykle jako zbiór punktów P w określonej odległości r (promień okręgu) od danego punktu (środka okręgu). Istnieją jednak inne, równoważne definicje koła. Apoloniusz odkrył, że okrąg można zdefiniować jako zbiór punktów P o określonym stosunku odległości k  = d 1/d 2do dwóch podanych punktów (oznaczonych jako A i B na rysunku 1). Te dwa punkty są czasami nazywane ogniskami .

Dowód za pomocą wektorów w przestrzeniach euklidesowych

Niech d 1 , d 2 będą nierównymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Niech C będzie wewnętrznym punktem podziału AB w stosunku d 1  : d 2 , a D zewnętrznym punktem podziału AB w tym samym stosunku, d 1  : d 2 .

Następnie,

Dlatego punkt P znajduje się na okręgu o średnicy CD .

Dowód za pomocą twierdzenia o dwusiecznej kąta

Dowód definicji koła Apoloniusza

Najpierw rozważ punkt na odcinku między a , spełniający stosunek. Z definicji

a z twierdzenia o dwusiecznej kąta kąty i są równe.

Następnie weź drugi punkt na przedłużonej linii, który spełnia stosunek. Więc

Weź również inny punkt w dowolnym miejscu na przedłużonej linii . Również według twierdzenia o dwusiecznej kąta linia przecina kąt zewnętrzny . Stąd i są równe i . Stąd według twierdzenia Talesa leży koło, które ma jako średnicę.

Problem pościgu Apoloniusza

Problem pościgu Apoloniusza polega na znalezieniu, gdzie statek opuszczający jeden punkt A z prędkością v A przetnie inny statek opuszczający inny punkt B z prędkością v B . Przechwycenie dwóch statków w czasie minimalnym odbywa się za pomocą linii prostych. Jeśli prędkości statków są utrzymywane na stałym poziomie, ich stosunek prędkości jest określony przez μ. Jeśli oba statki zderzają się lub spotykają w przyszłości, I , to odległości każdego z nich są związane równaniem:

Kwadratując obie strony otrzymujemy:

Rozszerzanie:

Dalsza rozbudowa:

Przeniesienie na lewą stronę:

Faktoring:

Dzielenie przez  :

Ukończenie kwadratu:

Przenieś wyrażenia nie do kwadratu po prawej stronie:

Następnie:

Dlatego punkt musi leżeć na okręgu określonym przez Apoloniusza, z punktami początkowymi jako ogniskami.

Kręgi dzielące radykalną oś

Rysunek 2. Zbiór kręgów apollińskich. Każdy niebieski okrąg przecina każdy czerwony okrąg pod kątem prostym i na odwrót. Każde czerwone kółko przechodzi przez dwa ogniska, które odpowiadają punktom A i B na rysunku 1.

Okręgi określone przez apolliński problem pościgu dla tych samych dwóch punktów A i B , ale o różnych stosunkach dwóch prędkości, są od siebie rozłączne i tworzą ciągłą rodzinę obejmującą całą płaszczyznę; ta rodzina kół jest znana jako ołówek hiperboliczny . Inna rodzina okręgów, okręgi, które przechodzą zarówno przez A, jak i B , są również nazywane ołówkiem, a dokładniej ołówkiem eliptycznym . Te dwa ołówki apollińskich kół przecinają się pod kątem prostym i tworzą podstawę dwubiegunowego układu współrzędnych . W każdym ołówku dowolne dwa okręgi mają tę samą oś radykalną ; dwie radykalne osie dwóch ołówków są prostopadłe, a środki kół jednego ołówka leżą na radykalnej osi drugiego ołówka.

Rozwiązania problemu Apoloniusza

Problem Apoloniusza może mieć do ośmiu rozwiązań. Trzy podane okręgi są pokazane na czarno, podczas gdy okręgi z rozwiązaniami są pokolorowane.

W euklidesowej płaskiej geometrii , problemem Apollonius jest to budowa koła , które są styczne do trzech podanych w płaszczyźnie koła.

Trzy podane okręgi mają ogólnie osiem różnych okręgów, które są do nich styczne, a każdy okrąg rozwiązania obejmuje lub wyklucza te trzy okręgi w inny sposób: w każdym rozwiązaniu zawarty jest inny podzbiór trzech okręgów.

Uszczelka apollińska

Rysunek 4. Symetryczna uszczelka apollińska, zwana także uszczelką Leibniza, od nazwiska jej wynalazcy Gottfrieda Leibniza .

Rozwiązując wielokrotnie problem Apoloniusza w celu znalezienia wpisanego okręgu, szczeliny między wzajemnie stycznymi okręgami można dowolnie dokładnie wypełnić, tworząc apollińską uszczelkę , zwaną także

uszczelką Leibniza lub uszczelką apollińską . Ta uszczelka jest fraktalem , jest samopodobna i ma wymiar d, który nie jest dokładnie znany, ale wynosi około 1,3, czyli jest wyższy niż w przypadku krzywej regularnej (lub prostowalnej ) ( d  = 1), ale mniejszy niż w przypadku płaszczyzny ( d  = 2). Uszczelka apollińska została po raz pierwszy opisana przez Gottfrieda Leibniza w XVII wieku i jest zakrzywionym prekursorem XX-wiecznego trójkąta sierpińskiego . Uszczelka apollińska ma również głębokie powiązania z innymi dziedzinami matematyki; na przykład jest to zbiór graniczny grup kleinowskich ; i zobacz także twierdzenie o pakowaniu w okrąg .

Punkty izodynamiczne trójkąta

Te koła Apolloniusza może również oznaczać trzy specjalne koła zdefiniowane dowolnego trójkąta . Okrąg definiuje się jako unikalny okrąg przechodzący przez wierzchołek trójkąta, który utrzymuje stały stosunek odległości do pozostałych dwóch wierzchołków i (por. definicja koła Apoloniusza powyżej). Podobnie, koła jest określony jako jedynego koła przechodzącej przez wierzchołek trójkąta , który utrzymuje stały stosunek odległości do pozostałych dwóch wierzchołków i , i tak dalej do koła .

Wszystkie trzy okręgi przecinają okrąg opisany na trójkącie prostopadle . Wszystkie trzy okręgi przechodzą przez dwa punkty, które są znane jako punkty izodynamiczne i trójkąta. Linia łącząca te wspólne punkty przecięcia jest osią radykalną dla wszystkich trzech okręgów. Te dwa punkty izodynamiczne są odwrotnością względem okręgu opisanego w trójkącie.

Środki tych trzech kręgów leżą na jednej linii ( linia Lemoine ). Ta linia jest prostopadła do osi radykalnej, która jest linią wyznaczoną przez punkty izodynamiczne.

Zobacz też

Bibliografia

Bibliografia