Kręgi Apoloniusza - Circles of Apollonius
Te kręgi Apoloniusza to jedne z kilku zestawów kół związanych z Apoloniusz z Perge , znanego greckiego Geometry . Większość z tych kręgów znajduje się w płaskiej geometrii euklidesowej , ale analogi zostały zdefiniowane na innych powierzchniach; na przykład odpowiedniki na powierzchni kuli można określić za pomocą projekcji stereograficznej .
Główne zastosowania tego terminu są pięciokrotne:
- Apoloniusz wykazał, że okrąg można zdefiniować jako zbiór punktów na płaszczyźnie, które mają określony stosunek odległości do dwóch punktów stałych, znanych jako foci . To koło apollińskie jest podstawą problemu pościgu Apoloniusza. Jest to szczególny przypadek pierwszej rodziny opisanej w #2.
- W apollińskiej okręgi są dwie rodziny wzajemnie prostopadłych kręgach. Pierwsza rodzina składa się z okręgów o wszystkich możliwych stosunkach odległości do dwóch stałych ognisk (takich samych jak w #1), podczas gdy druga rodzina składa się ze wszystkich możliwych okręgów, które przechodzą przez oba ogniska. Okręgi te tworzą podstawę współrzędnych dwubiegunowych .
- Te koła Apolloniusza trójkąta, trzy koła, z których każdy przechodzi przez jednego wierzchołka trójkąta i utrzymuje stały stosunek odległości do dwóch pozostałych. W isodynamic punkty i Lemoine linia trójkąta może być rozwiązany za pomocą tych Okrąg Apoloniusza.
- Problem Apoloniusza polega na skonstruowaniu okręgów, które są jednocześnie styczne do trzech określonych okręgów. Rozwiązania tego problemu nazywane są czasami kręgami Apoloniusza .
- Apollińskie uszczelka onu z pierwszym fraktalach opisuję-to zestaw wzajemnie stycznych koła, tworzonych przez rozwiązanie problemu Apollonius' iteracyjnie.
Definicja koła Apoloniusza
Okrąg definiuje się zwykle jako zbiór punktów P w określonej odległości r (promień okręgu) od danego punktu (środka okręgu). Istnieją jednak inne, równoważne definicje koła. Apoloniusz odkrył, że okrąg można zdefiniować jako zbiór punktów P o określonym stosunku odległości k = d 1/d 2do dwóch podanych punktów (oznaczonych jako A i B na rysunku 1). Te dwa punkty są czasami nazywane ogniskami .
Dowód za pomocą wektorów w przestrzeniach euklidesowych
Niech d 1 , d 2 będą nierównymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Niech C będzie wewnętrznym punktem podziału AB w stosunku d 1 : d 2 , a D zewnętrznym punktem podziału AB w tym samym stosunku, d 1 : d 2 .
Następnie,
Dlatego punkt P znajduje się na okręgu o średnicy CD .
Dowód za pomocą twierdzenia o dwusiecznej kąta
Najpierw rozważ punkt na odcinku między a , spełniający stosunek. Z definicji
Następnie weź drugi punkt na przedłużonej linii, który spełnia stosunek. Więc
Problem pościgu Apoloniusza
Problem pościgu Apoloniusza polega na znalezieniu, gdzie statek opuszczający jeden punkt A z prędkością v A przetnie inny statek opuszczający inny punkt B z prędkością v B . Przechwycenie dwóch statków w czasie minimalnym odbywa się za pomocą linii prostych. Jeśli prędkości statków są utrzymywane na stałym poziomie, ich stosunek prędkości jest określony przez μ. Jeśli oba statki zderzają się lub spotykają w przyszłości, I , to odległości każdego z nich są związane równaniem:
Kwadratując obie strony otrzymujemy:
Rozszerzanie:
Dalsza rozbudowa:
Przeniesienie na lewą stronę:
Faktoring:
Dzielenie przez :
Ukończenie kwadratu:
Przenieś wyrażenia nie do kwadratu po prawej stronie:
Następnie:
Dlatego punkt musi leżeć na okręgu określonym przez Apoloniusza, z punktami początkowymi jako ogniskami.
Kręgi dzielące radykalną oś
Okręgi określone przez apolliński problem pościgu dla tych samych dwóch punktów A i B , ale o różnych stosunkach dwóch prędkości, są od siebie rozłączne i tworzą ciągłą rodzinę obejmującą całą płaszczyznę; ta rodzina kół jest znana jako ołówek hiperboliczny . Inna rodzina okręgów, okręgi, które przechodzą zarówno przez A, jak i B , są również nazywane ołówkiem, a dokładniej ołówkiem eliptycznym . Te dwa ołówki apollińskich kół przecinają się pod kątem prostym i tworzą podstawę dwubiegunowego układu współrzędnych . W każdym ołówku dowolne dwa okręgi mają tę samą oś radykalną ; dwie radykalne osie dwóch ołówków są prostopadłe, a środki kół jednego ołówka leżą na radykalnej osi drugiego ołówka.
Rozwiązania problemu Apoloniusza
W euklidesowej płaskiej geometrii , problemem Apollonius jest to budowa koła , które są styczne do trzech podanych w płaszczyźnie koła.
Trzy podane okręgi mają ogólnie osiem różnych okręgów, które są do nich styczne, a każdy okrąg rozwiązania obejmuje lub wyklucza te trzy okręgi w inny sposób: w każdym rozwiązaniu zawarty jest inny podzbiór trzech okręgów.
Uszczelka apollińska
Rozwiązując wielokrotnie problem Apoloniusza w celu znalezienia wpisanego okręgu, szczeliny między wzajemnie stycznymi okręgami można dowolnie dokładnie wypełnić, tworząc apollińską uszczelkę , zwaną także
uszczelką Leibniza lub uszczelką apollińską . Ta uszczelka jest fraktalem , jest samopodobna i ma wymiar d, który nie jest dokładnie znany, ale wynosi około 1,3, czyli jest wyższy niż w przypadku krzywej regularnej (lub prostowalnej ) ( d = 1), ale mniejszy niż w przypadku płaszczyzny ( d = 2). Uszczelka apollińska została po raz pierwszy opisana przez Gottfrieda Leibniza w XVII wieku i jest zakrzywionym prekursorem XX-wiecznego trójkąta sierpińskiego . Uszczelka apollińska ma również głębokie powiązania z innymi dziedzinami matematyki; na przykład jest to zbiór graniczny grup kleinowskich ; i zobacz także twierdzenie o pakowaniu w okrąg .Punkty izodynamiczne trójkąta
Te koła Apolloniusza może również oznaczać trzy specjalne koła zdefiniowane dowolnego trójkąta . Okrąg definiuje się jako unikalny okrąg przechodzący przez wierzchołek trójkąta, który utrzymuje stały stosunek odległości do pozostałych dwóch wierzchołków i (por. definicja koła Apoloniusza powyżej). Podobnie, koła jest określony jako jedynego koła przechodzącej przez wierzchołek trójkąta , który utrzymuje stały stosunek odległości do pozostałych dwóch wierzchołków i , i tak dalej do koła .
Wszystkie trzy okręgi przecinają okrąg opisany na trójkącie prostopadle . Wszystkie trzy okręgi przechodzą przez dwa punkty, które są znane jako punkty izodynamiczne i trójkąta. Linia łącząca te wspólne punkty przecięcia jest osią radykalną dla wszystkich trzech okręgów. Te dwa punkty izodynamiczne są odwrotnością względem okręgu opisanego w trójkącie.
Środki tych trzech kręgów leżą na jednej linii ( linia Lemoine ). Ta linia jest prostopadła do osi radykalnej, która jest linią wyznaczoną przez punkty izodynamiczne.
Zobacz też
Bibliografia
Bibliografia
- Ogilvy, CS (1990) Wycieczki w geometrii , Dover. ISBN 0-486-26530-7 .
- Johnson, RA (1960) Zaawansowana geometria euklidesowa , Dover.