Przypuszczenie Carathéodory - Carathéodory conjecture

W geometrii różniczkowej The Carathéodory przypuszczenie jest matematycznym przypuszczenie nadana Constantin Carathéodory przez Hans Ludwig Hamburger w sesji berlińskiego Towarzystwa Matematycznego w 1924 Carathéodory zrobił opublikuje dokument na pokrewny temat, ale nigdy nie popełnił przypuszczeń na piśmie. W pracy John Edensor Littlewood wymienia hipotezę i wkład Hamburgera jako przykład twierdzenia matematycznego, które jest łatwe do stwierdzenia, ale trudne do udowodnienia. Dirk Struik opisuje formalną analogię hipotezy z twierdzeniem o czterech wierzchołkach dla krzywych płaskich . Współczesne odniesienia do hipotezy to lista problemów Shing-Tung Yau , książki Marcela Bergera , a także książki.

Treść matematyczna

Hipoteza twierdzi, że każda wypukła, zamknięta i wystarczająco gładka powierzchnia w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej musi mieć co najmniej dwa punkty pępowinowe . W sensie hipotezy, sferoida z tylko dwoma punktami pępowinowymi i kula , której wszystkie punkty są pępowinowe, są przykładami powierzchni z minimalną i maksymalną liczbą pępków. Aby przypuszczenie było dobrze ustawione, a punkty pępkowe dobrze zdefiniowane, powierzchnia musi być co najmniej dwukrotnie różniczkowalna.

Matematyczne badania nad podejściem poprzez oszacowanie lokalnego indeksu pępowinowego dla rzeczywistych powierzchni analitycznych

Zaproszony przemówienie Stefana Cohna-Vossena na Międzynarodowy Kongres Matematyków w 1928 r. W Bolonii dotyczyło tego tematu iw wydaniu z 1929 r. Trzeciego tomu Wilhelma Blaschke , poświęconego geometrii różniczkowej, stwierdza on:

Podczas gdy ta książka trafia do druku, panu Cohn-Vossenowi udało się udowodnić, że zamknięte rzeczywiste powierzchnie analityczne nie mają punktów pępowinowych o wskaźniku> 2 (wykład na zaproszenie ICM w Bolonii 1928). Dowodzi to przypuszczenia Carathéodory dla takich powierzchni, a mianowicie, że muszą one mieć co najmniej dwie pępowiny.

Tutaj indeks Blaschkego jest dwa razy większy niż zwykła definicja indeksu punktu pępowinowego, a globalne przypuszczenie wynika z twierdzenia o indeksie Poincarégo – Hopfa . Na obrady Międzynarodowego Kongresu Cohn-Vossen nie zgłosił żadnego artykułu, natomiast w późniejszych wydaniach książki Blaschkego powyższe uwagi zostały usunięte. Dlatego rozsądne jest założenie, że praca ta była niejednoznaczna.

W odniesieniu do powierzchni analitycznych, twierdzącej odpowiedzi na to przypuszczenie dał w 1940 roku Hans Hamburger w długim artykule opublikowanym w trzech częściach. Podejście Hamburgera opierało się również na oszacowaniu lokalnego indeksu izolowanych pępowin, które, jak wykazał, sugerują hipotezę w jego wcześniejszej pracy. W 1943 r. Gerrit Bol zaproponował krótszy dowód , zob. Także, ale w 1959 r. Tilla Klotz znalazła i poprawiła lukę w dowodzie Bola w. Jej dowód z kolei został uznany za niekompletny w rozprawie Hanspetera Scherbela (brak wyników tej dysertacji związanej z hipotezą Carathéodory były publikowane przez dziesięciolecia, przynajmniej nic nie zostało opublikowane do czerwca 2009 r.). Wśród innych publikacji odwołujemy się do artykułów.

Wszystkie wspomniane powyżej dowody opierają się na redukcji hipotezy Carathéodory'ego Hamburgera do następującego przypuszczenia: wskaźnik każdego izolowanego punktu pępowinowego nigdy nie jest większy niż jeden . Z grubsza mówiąc, główna trudność polega na rozwiązaniu osobliwości generowanych przez punkty pępowinowe. Wszyscy wyżej wymienieni autorzy rozwiązują osobliwości poprzez indukcję na „stopniu zwyrodnienia” punktu pępowinowego, ale żaden z nich nie był w stanie jasno przedstawić procesu indukcji.

W 2002 roku Władimir Iwanow powrócił do pracy Hamburgera nad powierzchniami analitycznymi z następującą intencją:

„Po pierwsze, biorąc pod uwagę powierzchnie analityczne, z pełną odpowiedzialnością zapewniamy, że Carathéodory miał rację. Po drugie, wiemy, jak można tego rygorystycznie udowodnić. Po trzecie, zamierzamy tu przedstawić dowód, który naszym zdaniem przekona każdego czytelnika, kim naprawdę jest gotowy do podjęcia z nami długiej i męczącej podróży. "

Najpierw podąża drogą opisaną przez Gerrita Bola i Tillę Klotz , ale później proponuje własny sposób rozwiązywania osobliwości, w którym kluczowa rola należy do analizy złożonej (a dokładniej do technik obejmujących funkcje analityczne niejawne , twierdzenie Weierstrassa o przygotowaniu , serie Puiseux i cykliczne systemy root ).

Badania matematyczne nad pierwotną globalną hipotezą dotyczącą gładkich powierzchni

W 2008 roku Guilfoyle i Klingenberg ogłosili dowód na globalną hipotezę dotyczącą gładkości powierzchni . Ich metoda wykorzystuje neutralną KäHLER geometrię z Quadric Klein zdefiniowanie powiązanych Riemanna-Hilberta zagadnienie brzegowe, a następnie stosuje się średni przepływ krzywizny i Sard-Smale Twierdzenie o stałych wartościach operatorów Fredholma wykazać sprzeczność dla powierzchni z jednym umbilic punkt.

W szczególności problem wartości brzegowych dąży do znalezienia krzywej holomorficznej z granicą leżącą na powierzchni Lagrange'a w kwadryku Kleina wyznaczoną przez linie normalne do powierzchni w 3-przestrzeni euklidesowej. Wcześniej wykazano, że liczba izolowanych punktów pępowinowych znajdujących się na powierzchni w wyznacza klasę Kellera-Maslowa krzywej granicznej, a zatem, gdy problem jest regularny Fredholma, determinuje wielkość przestrzeni dysków holomorficznych. Wszystkie wspomniane wielkości geometryczne są zdefiniowane w odniesieniu do kanonicznej neutralnej struktury Kählera, dla której powierzchnie mogą być zarówno holomorficzne, jak i lagranżowskie.

Odnosząc się do globalnego przypuszczenia, pojawia się pytanie: „ co byłoby takiego specjalnego w gładkiej zamkniętej wypukłej powierzchni z pojedynczym punktem pępowiny? „Odpowiadają na to Guilfoyle i Klingenberg: powiązany problem wartości brzegowej Riemanna-Hilberta byłby regularny. Udowodniono, że istnienie grupy izometrii o wystarczającej wielkości do ustalenia punktu jest wystarczające, aby to zapewnić, identyfikując w ten sposób rozmiar grupy izometrii euklidesowej jako podstawowy powód, dla którego hipoteza Carathéodory jest prawdziwa. Jest to wzmocnione przez nowszy wynik, w którym konstruowane są gładkie metryki otoczenia (bez symetrii), które są różne, ale arbitralnie zbliżone do metryki euklidesowej , które dopuszczają gładkie wypukłe powierzchnie naruszające zarówno lokalne, jak i globalne przypuszczenia.

Zgodnie z regularnością Fredholma, dla ogólnej wypukłej powierzchni zbliżonej do domniemanego kontrprzykładu globalnej hipotezy Carathéodory, powiązany problem Riemanna-Hilberta nie miałby rozwiązania. Drugim krokiem dowodu jest pokazanie, że takie rozwiązania istnieją zawsze, wnioskując w ten sposób o nieistnieniu kontrprzykładu. Odbywa się to za pomocą średniego przepływu krzywizny współwymiarowej 2 z granicą. Chociaż kompletny drugi etap dowodu nie został opublikowany w listopadzie 2020 r., Wymagane oszacowania wewnętrzne dla wyższego współwymiarowego średniego przepływu krzywizny w nieokreślonej geometrii pojawiły się w druku. Ostatnią częścią jest ustanowienie wystarczającej kontroli granicznej pod średnim przepływem krzywizny, aby zapewnić słabą zbieżność.

W 2012 roku ogłoszono dowód na słabszą wersję przypuszczenia lokalnego wskaźnika dla gładkich powierzchni, a mianowicie, że izolowana pępowina musi mieć indeks mniejszy lub równy 3/2. Dowód jest zgodny z przypuszczeniami globalnymi, ale wykorzystuje również bardziej topologiczne metody, w szczególności zastępując hiperboliczne punkty pępowinowe całkowicie rzeczywistymi krzyżami na granicy powiązanego problemu Riemanna-Hilberta. Pozostawia otwartą możliwość uzyskania gładkiej (nierealnej analitycznej wg Hamburgera) powierzchni wypukłej z izolowaną pępowiną o wskaźniku 3/2. Dowód podobnymi metodami przypuszczenia Toponogowa co do punktów pępowinowych na kompletnych samolotach ogłoszono w 2020 roku.

W 2012 roku Mohammad Ghomi i Ralph Howard wykazali, używając transformacji Möbiusa , że globalną hipotezę dotyczącą gładkości powierzchni można przeformułować w kategoriach liczby punktów pępowinowych na wykresach podlegających pewnym asymptotykom gradientu.

Zobacz też

Bibliografia

Linki zewnętrzne