Grupa Brauera - Brauer group

W matematyce The grupa Brauer z pola K jest grupą abelowa której elementy równoważne Morita klas głównych prostych algebrach ponad K , a ponadto biorąc pod uwagę przez produkt tensora algebr. Został zdefiniowany przez algebraistę Richarda Brauera .

Grupa Brauera powstała z prób klasyfikacji algebr dzielenia nad ciałem . Można ją również zdefiniować w kategoriach kohomologii Galois . Bardziej ogólnie, grupa Brauera schematu jest zdefiniowana w terminach algebr Azumaya lub równoważnie przy użyciu wiązek rzutowych .

Budowa

Centralny prosty Algebra (CSA) w polu K jest ograniczony asocjacyjny trójwymiarowy K -algebra tak, że jest prosty pierścień i ośrodek z A jest równy K . Zauważ, że CSA są na ogół nie algebr podziału, chociaż CSA może być używana do klasyfikowania algebr podziału.

Na przykład liczby zespolone C tworzą CSA nad sobą, ale nie nad R (środkiem jest samo C , a więc zbyt duże, aby było CSA nad R ). Skończenie wymiarowe algebry podziału ze środkiem R (co oznacza, że ​​wymiar nad R jest skończony) są liczbami rzeczywistymi i kwaternionymi według twierdzenia Frobeniusa , podczas gdy dowolna macierz krąży nad liczbami rzeczywistymi lub kwaternionymi – M( n , R ) lub M ( n , H ) – jest CSA po liczbach rzeczywistych, ale nie jest algebrą dzielenia (jeśli n > 1).

Otrzymujemy relację równoważności na CSA nad K przez twierdzenie Artina–Wedderburna ( w rzeczywistości część Wedderburna ), aby wyrazić dowolny CSA jako M( n , D ) dla jakiejś algebry dzielenia D . Jeśli spojrzymy tylko na D , to znaczy jeśli nałożymy relację równoważności identyfikującą M( m , D ) z M( n , D ) dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych m i n , otrzymamy relację równoważności Brauera dla CSA nad K . Elementami grupy Brauera są klasy równoważności Brauera CSA nad K .

Mając centralne proste algebry A i B , można spojrzeć na ich iloczyn tensorowy A ⊗ B jako K -algebrę (patrz iloczyn tensorowy R-algebr ). Okazuje się, że to jest zawsze najprostsze. Sposób śliski zobaczyć jest użycie charakterystykę: centralne prosty Algebra nad K jest K -algebra że staje się pierścieniem matrycy , kiedy rozszerzenie pola skalarów na algebraicznej zamknięcia z K . Wynik ten pokazuje również, że wymiar centralnej prostej algebry A jako przestrzeni K -wektorowej jest zawsze kwadratem. Stopni od A jest zdefiniowane jako pierwiastek kwadratowy z jego wymiarów.

W rezultacie klasy izomorfizmu CSA nad K tworzą monoid pod tensorowy iloczyn zgodny z równoważnością Brauera, a wszystkie klasy Brauera są odwracalne : odwrotność algebry A jest dana przez jej przeciwną algebra A op ( przeciwny pierścień z to samo działanie K, ponieważ obraz K → A znajduje się w centrum A ). Jawnie, dla CSA A mamy A ⊗ A op = M( n 2 , K ), gdzie n jest stopniem A nad K .

Grupa Brauera dowolnego pola jest grupą skrętną . Bardziej szczegółowo, zdefiniuj okres centralnej algebry prostej A nad K jako jej rząd jako element grupy Brauera. Określić wskaźnik z A za stopień Algebra podziału, która jest równoważna Brauer A . Wtedy okres A dzieli indeks A (a zatem jest skończony).

Przykłady

Odmiany Severi-Brauer

Innym ważnym interpretacja grupy Brauer pola K jest to, że klasyfikuje projekcyjne odmian ponad K , które stają izomorficzna z przestrzeni rzutowej nad algebraicznych zamknięcia z K . Taka odmiana nazywana jest rozmaitością Severiego-Brauera , a między klasami izomorfizmu rozmaitości Severiego-Brauera o wymiarze n -1 nad K a centralnymi algebrami prostymi stopnia n nad K istnieje zależność jeden do jednego .

Na przykład odmiany Severi-Brauera o wymiarze 1 są dokładnie gładkimi stożkami w płaszczyźnie rzutowej nad K . Dla pola K z cechą nie 2, każda stożkowy na K jest izomorficzny jednej z postaci siekiery 2 + przez 2 = oo dwa do niektórych elementów niezerowych i b o k . Odpowiednia centralna algebra prosta to algebra kwaternionów

Stożkowa jest izomorficzna z prostą rzutową P 1 przez K wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednia algebra kwaternionów jest izomorficzna z algebrą macierzy M(2, K ).

Algebry cykliczne

Dla dodatniej liczby całkowitej n niech K będzie ciałem, w którym n jest odwracalne, tak że K zawiera pierwotny pierwiastek n- ty jedności ζ. Dla elementów niezerowych i b o k , związany z nim cykliczne Algebra jest głównym prosty Algebra stopnia n nad K określa

Algebry cykliczne są najlepiej poznanymi centralnymi algebrami prostymi. (Gdy n nie jest odwracalne w K lub K nie ma prymitywnego n- tego pierwiastka jedności, podobna konstrukcja daje cykliczną algebrę (χ, a ) związaną z cyklicznym Z / n -rozszerzeniem χ K i niezerowym elementem a z K. )

Twierdzenie Merkurjewa-Suslina w algebraicznej K-teorii ma silne konsekwencje dla grupy Brauera. Mianowicie, dla dodatniej liczby całkowitej n niech K będzie polem, w którym n jest odwracalne, tak że K zawiera prymitywny n- ty pierwiastek jedności. Następnie podgrupa grupy Brauera z K zabitych przez n jest generowana przez algebry cykliczne stopnia n . Równoważnie każda algebra dzielenia okresu dzielenia n jest odpowiednikiem Brauera iloczynu tensorowego algebr cyklicznych stopnia n . Nawet dla liczby pierwszej p , istnieją przykłady pokazujące , że algebra dzielenia okresu p nie musi być faktycznie izomorficzna z iloczynem tensorowym algebr cyklicznych stopnia p .

Jest głównym otwartym problemem (podniesionym przez Alberta ), czy każda algebra dzielenia pierwszego stopnia nad ciałem jest cykliczna. Dzieje się tak, jeśli stopień wynosi 2 lub 3, ale problem jest szeroko otwarty dla liczb pierwszych co najmniej 5. Znane wyniki dotyczą tylko specjalnych klas pól. Na przykład, jeśli K jest ciałem globalnym lub ciałem lokalnym , to algebra dzielenia dowolnego stopnia powyżej K jest cykliczna, według Alberta- Brauera - Hasse - Noetha . „Wyższy wymiar” w tym samym kierunku został udowodniony przez Saltmana: jeśli K jest ciałem o stopniu transcendencji 1 nad ciałem lokalnym Q p , to każda algebra dzielenia pierwszego stopnia l ≠ p nad K jest cykliczna.

Problem indeksu okresu

Dla dowolnej centralnej prostej algebry A nad ciałem K okres A dzieli indeks A , a dwie liczby mają te same czynniki pierwsze. Problemem okres indeksu jest związany indeksu pod względem okresu, na polach K zainteresowania. Na przykład, jeśli A jest centralną algebrą prostą nad ciałem lokalnym lub ciałem globalnym, to Albert-Brauer-Hasse-Noether pokazał, że indeks A jest równy okresowi A .

Dla centralnej prostej algebry A nad ciałem K o stopniu transcendencji n nad ciałem algebraicznie domkniętym, przypuszcza się, że ind( A ) dzieli przez ( A ) n −1 . Dotyczy to n ≤ 2, gdzie n = 2 jest ważnym postępem de Jonga , zaostrzonym w pozytywnej charakterystyce de Jong-Starr i Lieblich.

Teoria pola klas

Grupa Brauera odgrywa ważną rolę we współczesnym formułowaniu klasowej teorii pola . Jeśli K v jest niearchimedesowym polem lokalnym, lokalna teoria pola klas daje kanoniczny izomorfizm inv v : Br( K v ) → Q / Z , niezmiennik Hassego .

Przypadek globalnego pola K (takiego jak pole liczbowe ) jest rozpatrywany przez globalną klasową teorię pola . Jeśli D jest głównym prosty Algebra przez K i V to miejsce w K , a D ⊗ K V jest głównym prosty Algebra nad K v , zakończenia K w V . Definiuje to homomorfizm z grupy Brauera K do grupy Brauera K v . Dana centralna prosta algebra D dzieli się na wszystkie, ale skończenie wiele v , tak że obraz D pod prawie wszystkimi takimi homomorfizmami wynosi 0. Grupa Brauera Br( K ) pasuje do dokładnego ciągu skonstruowanego przez Hassego:

gdzie S jest zbiorem wszystkich miejsc K, a strzałka w prawo jest sumą lokalnych niezmienników; grupa Brauera liczb rzeczywistych jest identyfikowana przez (1/2) Z / Z . Injektywność strzałki w lewo jest treścią twierdzenia Alberta-Brauera-Hasse-Noetha .

Fakt, że suma wszystkich lokalnych niezmienników centralnej prostej algebry nad K wynosi zero, jest typowym prawem wzajemności . Na przykład zastosowanie tego do algebry kwaternionów ( a , b ) nad Q daje kwadratowe prawo wzajemności .

Kohomologia Galois

Dla dowolnego pola K grupa Brauera może być wyrażona za pomocą kohomologii Galois w następujący sposób:

gdzie G m oznacza grupę multiplikatywną , postrzeganą jako grupa algebraiczna nad K . Konkretniej, grupa kohomologie wskazany środek H 2 (Gal ( K s / K ) K S * ), gdzie K s oznacza rozłączne zamknięcie z K .

Izomorfizm grupy Brauera z grupą kohomologii Galois można opisać następująco. Grupa automorfizmu algebry n × n macierzy jest rzutową grupą liniową PGL( n ). Ponieważ wszystkie centralne proste algebry nad K stają się izomorficzne z algebrą macierzy po separowalnym domknięciu K , zbiór klas izomorfizmu centralnych prostych algebr stopnia n nad K można utożsamić ze zbiorem kohomologii Galois H 1 ( K , PGL( n )). Klasa centralnej prostej algebry w H 2 ( K , G m ) jest obrazem jej klasy w H 1 pod homomorfizmem granicy

powiązane z krótką sekwencją dokładną 1 → G m → GL(n) → PGL(n) → 1.

Grupa Brauera w schemacie

Grupa Brauera została uogólniona z pól na pierścienie przemienne przez Auslandera i Goldmana . Grothendieck poszedł dalej, definiując grupę Brauera dowolnego schematu .

Istnieją dwa sposoby zdefiniowania grupy Brauera w schemacie X , używając albo algebr Azumaya nad X lub wiązek rzutowych nad X . Druga definicja obejmuje wiązki rzutowe, które są lokalnie trywialne w topologii etalnej , niekoniecznie w topologii Zariskiego . W szczególności wiązka rzutowa jest zdefiniowana jako zero w grupie Brauera wtedy i tylko wtedy, gdy jest to rzutowanie pewnej wiązki wektorowej.

Cohomological grupa Brauer z quasi-zwarty schemacie X określa się jako podgrupa skręcenie Etale kohomologii grupy H 2 ( X , G m ). (Cała grupa H 2 ( X , G m ) nie musi być skręcaniem, chociaż jest to skręcanie dla regularnych schematów X .) Grupa Brauera jest zawsze podgrupą kohomologicznej grupy Brauera. Gabber wykazał, że grupa Brauera jest równa kohomologicznej grupie Brauera dla dowolnego schematu z dużą wiązką linii (na przykład dowolnego schematu quasi-rzutowego na pierścieniu przemiennym).

Całą grupę H 2 ( X , G m ) można postrzegać jako klasyfikację gerbów nad X z grupą strukturalną G m .

W przypadku gładkich odmian rzutowych nad polem grupa Brauera jest niezmiennikiem binarnym . To było owocne. Na przykład, gdy X jest również racjonalnie połączone przez liczby zespolone, grupa Brauera X jest izomorficzna z podgrupą skręcania osobliwej grupy kohomologicznej H 3 ( X , Z ), która jest zatem niezmiennikiem biracjonalnym. Artin i Mumford użyli tego opisu grupy Brauera, aby podać pierwszy przykład uniracjonalnej odmiany X nad C, która nie jest stabilnie racjonalna (to znaczy żaden iloczyn X z przestrzenią rzutową nie jest racjonalny).

Związek z przypuszczeniem Tate

Artin przypuszczał, że każdy właściwy schemat nad liczbami całkowitymi ma skończoną grupę Brauera. Nie jest to znane nawet w szczególnym przypadku gładkiej odmiany projekcyjnej X na skończonym polu. Rzeczywiście, skończoność grupy Brauera dla powierzchni w tym przypadku jest równoważna przypuszczeniu Tate'a dla dzielników na X , jednym z głównych problemów w teorii cykli algebraicznych .

Dla regularnego schematu całkowego o wymiarze 2, który jest płaski i właściwy nad pierścieniem liczb całkowitych ciała liczbowego i który ma przekrój , skończoność grupy Brauera jest równoważna skończoności grupy Tate-Shafarevicha Ш dla jakobianu różnorodność włókna ogólnego (krzywa nad polem liczbowym). Skończoność Ш jest głównym problemem w arytmetyce krzywych eliptycznych i ogólniej odmian abelowych .

Przeszkoda Brauera-Manina

Niech X będzie gładką rozmaitością rzutową nad ciałem liczbowym K . Zasada Hasse byłoby przewidzieć, że jeśli X ma racjonalnego punktu w stosunku do wszystkich oddawanych K v z K , a następnie X ma K -rational punkt. Zasada Hassego odnosi się do pewnych specjalnych klas odmian, ale nie ogólnie. Manin użył grupy Brauera X do zdefiniowania przeszkody Brauera-Manina , którą można zastosować w wielu przypadkach, aby pokazać, że X nie ma punktów K, nawet jeśli X ma punkty na wszystkich uzupełnieniach K .

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki