Algebra Banacha - Banach algebra

W matematyce , zwłaszcza w analizie funkcjonalnej , algebra Banacha , nazwana na cześć Stefana Banacha , jest algebrą asocjacyjną A nad liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi ( lub nad niearchimedesowym zupełnym ciałem unormowanym ) , która jest jednocześnie przestrzenią Banacha , która to unormowana przestrzeń, która jest kompletna w metryce wywołanej przez normę. Norma jest wymagana do spełnienia

${\ Displaystyle \ forall x, y \ w A \ hookrightarrow \ | x \ y \ | \ \ leq \ | x \ | \, \ | y \ |.}$

Zapewnia to ciągłość operacji mnożenia .

Algebrę Banacha nazywamy jednostkową, jeśli zawiera element tożsamości dla mnożenia, którego normą jest 1, i przemienną, jeśli mnożenie jest przemienne . Każdy Algebra Banacha (czy ma się element neutralny lub nie) może być osadzony izometrycznie w unital banachowskiej Algebra tak, aby utworzyć zamknięty idealny z . Często zakłada się a priori, że rozważana algebra jest jednością: można bowiem rozwinąć wiele teorii, rozważając, a następnie stosując wynik w oryginalnej algebrze. Jednak nie zawsze tak jest. Na przykład nie można zdefiniować wszystkich funkcji trygonometrycznych w algebrze Banacha bez tożsamości. ${\ Displaystyle A}$${\displaystyle A_{e}}$ ${\displaystyle A_{e}}$${\displaystyle A_{e}}$

Teoria algebr rzeczywistych Banacha może bardzo różnić się od teorii zespolonych algebr Banacha. Na przykład widmo elementu nietrywialnej zespolonej algebry Banacha nigdy nie może być puste, podczas gdy w rzeczywistej algebrze Banacha może być puste dla niektórych elementów.

Algebry Banacha mogą być również definiowane nad ciałami liczb p -adycznych . Jest to część analizy p- adycznej .

Przykłady

Prototypowym przykładem algebry Banacha jest przestrzeń funkcji ciągłych (o wartościach zespolonych) w przestrzeni lokalnie zwartej ( Hausdorffa ), która zanika w nieskończoności . jest unitarny wtedy i tylko wtedy, gdy X jest zwarty . Złożone sprzężenie będąc zanik , to w rzeczywistości C * -algebra . Mówiąc bardziej ogólnie, każda C*-algebra jest algebrą Banacha. ${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$

• Zbiór liczb rzeczywistych (lub zespolonych) jest algebrą Banacha z normą podaną przez wartość bezwzględną .
• Zbiór wszystkich rzeczywistej lub zespolonej ń -by- n macierzy staje unital Banacha Algebra jeśli wyposażyć go w niższym mnożnikowy normą matrycy .
• Weźmy przestrzeń Banacha R ⁿ (lub C ⁿ ) z normą || x || = maks. | x _i | i określenie mnożenia componentwise ( x ₁ , ..., x _n ) ( Y ₁ , ..., y _n ) = ( x ₁ r ₁ , ..., x _n y _n ).
• W kwaterniony tworzą 4-wymiarową rzeczywistą Banach algebraiczne, przy czym normą jest podane przez wartość bezwzględną quaternions.
• Algebra wszystkich ograniczonych funkcji o wartościach rzeczywistych lub zespolonych określonych na jakimś zbiorze (z mnożeniem punktowym i normą najwyższą ) jest algebrą Banacha z jedynką.
• Algebra wszystkich ograniczonych ciągłych funkcji rzeczywistych lub zespolonych na pewnej przestrzeni lokalnie zwartej (znowu z operacjami punktowymi i normą supremum) jest algebrą Banacha.
• Algebra wszystkich ciągłych operatorów liniowych na przestrzeni Banacha E (ze złożeniem funkcyjnym jako mnożeniem i normą operatora jako normą) jest algebrą Banacha z jedynką. Zbiór wszystkich operatorów kompaktowych na E jest algebrą Banacha i ideałem domkniętym. Jest bez identyczności, jeśli dim E = ∞ .
• Jeśli G jest lokalnie zwartą grupą topologiczną Hausdorffa i μ jest jej miarą Haara , to przestrzeń Banacha L ¹ ( G ) wszystkich funkcji całkowalnych μ na G staje się algebrą Banacha pod splotem xy ( g ) = ∫ x ( h ) y ( h ^-1 g ) d μ ( h ) dla x , y w L ¹ ( G ).
• Algebra jednostajna : Algebra Banacha, która jest podalgebrą algebry zespolonej C ( X ) z normą najwyższą i która zawiera stałe i oddziela punkty X (które muszą być zwartą przestrzenią Hausdorffa).
• Naturalna algebra funkcji Banacha : Jednolita algebra , której wszystkie znaki są wartościami w punktach X .
• C*-algebra : Algebra Banacha, która jest domkniętą *-podalgebrą algebry operatorów ograniczonych na pewnej przestrzeni Hilberta .
• Algebra miar : Algebra Banacha składająca się ze wszystkich miar Radona na pewnej grupie lokalnie zwartej , gdzie iloczyn dwóch miar jest podany przez splot miar .

Kontrprzykłady

Algebra quaternionów jest rzeczywistą algebrą Banacha, ale nie jest algebrą zespoloną (a więc nie jest algebrą zespoloną Banacha) z tego prostego powodu, że środkiem kwaternionów są liczby rzeczywiste, które nie mogą zawierać kopii kompleksu liczby. ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

Nieruchomości

Kilka funkcji elementarnych, które są definiowane przez szereg potęgowy, można zdefiniować w dowolnej algebrze Banacha z jedynką; przykłady obejmują funkcję wykładniczą i funkcje trygonometryczne , a bardziej ogólnie dowolną całą funkcję . (W szczególności mapa wykładnicza może być użyta do zdefiniowania abstrakcyjnych grup indeksowych .) Wzór na szereg geometryczny pozostaje ważny w ogólnych algebrach Banacha. Dwumianowy Twierdzenie posiada również dwa elementy dojazdów o algebrze Banacha.

Zbiór elementów odwracalnych w dowolnej unitalnej algebrze Banacha jest zbiorem otwartym , a operacja inwersji na tym zbiorze jest ciągła (a zatem jest homeomorfizmem), tak że w wyniku mnożenia tworzy grupę topologiczną .

Jeśli algebra Banacha ma jednostkę 1 , to 1 nie może być komutatorem ; tj.   dla dowolnego x , y  ∈  A . Dzieje się tak, ponieważ xy i yx mają to samo widmo, z wyjątkiem być może 0. ${\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1}}$

Różne algebry funkcji podane w powyższych przykładach mają bardzo różne właściwości od standardowych przykładów algebr, takich jak liczby rzeczywiste. Na przykład:

• Każda rzeczywista algebra Banacha będąca algebrą dzielenia jest izomorficzna z liczbami rzeczywistymi, kompleksami lub kwaternionymi. Zatem jedyną zespoloną algebrą Banacha, która jest algebrą dzielenia, są kompleksy. (Jest to znane jako twierdzenie Gelfanda-Mazura .)
• Każda unitarna rzeczywista algebra Banacha bez dzielników zera , w której każdy ideał główny jest zamknięty , jest izomorficzna z liczbami rzeczywistymi, kompleksami lub kwaternionymi.
• Każda przemienna rzeczywista jednolita algebra Noetherian Banacha bez dzielników zera jest izomorficzna z liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi.
• Każda przemienna rzeczywista jednolita algebra Noetherian Banacha (prawdopodobnie mająca dzielniki zera) jest skończenie wymiarowa.
• Elementy trwale osobliwe w algebrach Banacha są topologicznymi dzielnikami zera , tzn. biorąc pod uwagę rozszerzenia B algebr Banacha A niektóre elementy osobliwe w danej algebrze A mają element odwrotny multiplikatywny w rozszerzeniu B algebr Banacha . Dzielniki topologiczne zera w A są trwale pojedyncze w dowolnym rozszerzeniu Banacha B w  A .

Teoria spektralna

Algebry jednostkowe Banacha nad polem zespolonym zapewniają ogólne warunki do rozwoju teorii spektralnej. Widmo elementu x  ∈  A , oznaczony , obejmuje wszystkie te złożone skalarne X tak, że x  -  λ 1 nie jest odwracalny, w A, . Widmo dowolnego elementu x jest domkniętym podzbiorem zamkniętego dysku w C o promieniu || x || i centrum 0, a zatem jest zwarty . Ponadto widmo elementu x jest niepuste i spełnia wzór na promień spektralny : ${\ Displaystyle \ sigma (x)}$ ${\ Displaystyle \ sigma (x)}$

${\ Displaystyle \ sup \ {| \ lambda |: \ lambda \ w \ sigma (x) \} = \ lim _ {n \ do \ infty} \ | x ^ {n} \ | ^ {1/n}. }$

Biorąc pod uwagę x  ∈  A , holomorficzny rachunek funkcjonalny pozwala na zdefiniowanie ƒ ( x ) ∈ A dla dowolnej funkcji ƒ holomorficznej w sąsiedztwie Ponadto, twierdzenie o odwzorowaniu spektralnym zachodzi: ${\ Displaystyle \ sigma (x).}$

${\ Displaystyle \ sigma (f (x)) = f (\ sigma (x)).}$

Gdy algebra Banacha A jest algebrą L( X ) ograniczonych operatorów liniowych na zespolonej przestrzeni Banacha X   (np. algebra macierzy kwadratowych), pojęcie widma w A pokrywa się ze zwykłym w teorii operatorów . Dla ƒ  ∈ C ( X ) (przy zwartej przestrzeni Hausdorffa  X ) widać, że:

${\ Displaystyle \ sigma (f) = \ {f (t): t \ w X \}.}$

Norma normalnego elementu x algebry C* pokrywa się z jej promieniem widmowym. To uogólnia fakt analogiczny dla normalnych operatorów.

Niech A   będzie złożoną algebrą Banacha z jedynką, w której każdy niezerowy element x jest odwracalny (algebra dzielenia). Dla każdego a  ∈ A , istnieje λ  ∈ C takie, że a  −  λ 1 nie jest odwracalne (ponieważ widmo a nie jest puste), stąd a  =  λ 1  : ta algebra A jest naturalnie izomorficzna z C (złożony przypadek Twierdzenie Gelfanda–Mazura).

Ideały i postacie

Niech A   będzie przemienną jedynką algebrą Banacha nad C . Od następnie pierścienia przemiennego z urządzenia, co nie odwracalny element A należy do pewnego maksymalnego idealny z A . Ponieważ ideał maksymalny w A jest domknięty, to algebra Banacha jest ciałem, a z twierdzenia Gelfanda–Mazura wynika, że ​​między zbiorem wszystkich ideałów maksymalnych A a zbiorem Δ( A ) wszystkich niezerowe homomorfizmy od A   do C . Zbiór Δ( A ) nazywany jest „ przestrzenią struktury ” lub „przestrzenią znaków” A , a jego elementy „znakami”. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle A/{\ mathfrak {m}}}$

Znak χ jest funkcjonałem liniowym na A, który jest jednocześnie multiplikatywny, χ ( ab ) = χ ( a ) χ ( b ) i spełnia χ ( 1 ) = 1. Każdy znak jest automatycznie ciągły od A   do C , ponieważ jądrem postaci jest ideał maksymalny, który jest zamknięty. Co więcej, normą ( tj. normą operatora) znaku jest jeden. Wyposażona w topologię zbieżności punktowej na A ( tj . topologię indukowaną przez topologię słabego*  A ^∗ ), przestrzeń znakowa Δ( A ) jest zwartą przestrzenią Hausdorffa.

Dla dowolnego x ∈ A ,

${\ Displaystyle \ sigma (x) = \ sigma ({\ kapelusz {x}})}$

gdzie jest przedstawienie Gelfand z X zdefiniowane następująco: jest funkcją ciągłą z § ( A ) i C podano w   widmie w powyższym wzorze jest widmo jako element z Algebra C (Δ ( )) złożonych ciągły działa na kompaktowej przestrzeni Δ( A ). Jawnie, ${\displaystyle {\kapelusz {x}}}$${\displaystyle {\kapelusz {x}}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} (\ chi) = \ chi (x).}$${\displaystyle {\kapelusz {x}}}$

${\ Displaystyle \ sigma ({\ kapelusz {x}}) = \ {\ chi (x): \ chi \ w \ delta (A) \}}$.

Jako algebra, algebra Banacha przemienna z jedynką jest półprosta (tj. jej rodnik Jacobsona wynosi zero) wtedy i tylko wtedy, gdy jej reprezentacja Gelfanda ma trywialne jądro. Ważnym przykładem takiej algebry jest przemienna C*-algebra. W rzeczywistości, gdy A jest przemienną C*-algebrą, reprezentacja Gelfanda jest izometrycznym *-izomorfizmem między A i C (Δ( A )) .

Banacha *-algebry

A Banach *-algebra A jest algebrą Banacha nad ciałem liczb zespolonych , wraz z odwzorowaniem * : A → A , która ma następujące własności:

1. ( x *)* = x dla wszystkich x w A (więc mapa jest inwolucją ).
2. ( x + y )* = x * + y * dla wszystkich x , y w A .
3. ${\ Displaystyle (\ lambda x) ^ {*} = {\ bar {\ lambda}} x ^ {*}}$dla każdego λ w C i każdego x w A ; tutaj oznacza sprzężenie zespolone λ .${\displaystyle {\bar {\lambda}}}$
4. ( xy )* = y * x * dla wszystkich x , y w A .

Innymi słowy, *-algebra Banacha jest algebrą Banacha, która jest również *-algebrą . ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

W większości naturalnych przykładów mamy również, że inwolucja jest izometryczna , to znaczy

|| x *|| = || x || dla wszystkich x w A .

Niektórzy autorzy włączają tę właściwość izometryczną do definicji algebry Banacha *.

Spełniająca *-algebrę Banacha || x * x || = || x *|| || x || jest C*-algebrą .

Zobacz też

• Przybliżona tożsamość
• przypuszczenie Kaplansky'ego
• Algebra operatorów
• Granica Shilov

Uwagi

Bibliografia