Aksjomat policzalnego wyboru - Axiom of countable choice
Aksjomat policzalnych wyboru lub aksjomatu przeliczalnej wyboru , oznaczoną AC Ohm , to aksjomat z teorii mnogości , który stanowi, że każdy przeliczalny zbiór niepustych zbiorów musi mieć funkcję wyboru . To znaczy, biorąc pod uwagę funkcję A z dziedziną N (gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych ) taką, że A ( n ) jest niepustym zbiorem dla każdego n ∈ N , istnieje funkcja f z dziedziną N taką, że f ( n ) ∈ ( n ) dla każdego n ∈ n .
Przegląd
Aksjomat policzalnego wyboru (AC ω ) jest ściśle słabszy niż aksjomat wyboru zależnego (DC) ( Jech 1973 ), który z kolei jest słabszy niż aksjomat wyboru (AC). Paul Cohen wykazał, że AC ω nie daje się udowodnić w teorii mnogości Zermelo – Fraenkla (ZF) bez aksjomatu wyboru ( Potter 2004 ). AC ω zachodzi w modelu Solovaya .
ZF + AC ω wystarczy, aby udowodnić, że suma policzalnych zbiorów policzalnych jest policzalna. Wystarczy również udowodnić, że każdy nieskończony zbiór jest nieskończony Dedekind (równoważnie: ma policzalnie nieskończony podzbiór).
AC ω jest szczególnie przydatny przy opracowywaniu analizy , w której wiele wyników zależy od posiadania funkcji wyboru dla policzalnego zbioru zbiorów liczb rzeczywistych . Na przykład, aby dowieść, że każdy punkt akumulacji x zbioru S ⊆ R jest granicą jakiegoś ciągu elementów S \ { x }, potrzebny jest (słaba forma) aksjomat policzalnego wyboru. Po sformułowaniu dla punktów akumulacji dowolnych przestrzeni metrycznych , instrukcja staje się równoważna AC ω . Inne stwierdzenia równoważne AC ω można znaleźć w Herrlich (1997) oraz Howard i Rubin (1998) .
Powszechnym błędem jest przekonanie, że policzalny wybór ma charakter indukcyjny i dlatego można go udowodnić jako twierdzenie (w ZF lub podobnych lub nawet słabszych systemach) przez indukcję. Jednak tak nie jest; to błędne przekonanie jest wynikiem pomylenia policzalnego wyboru z wyborem skończonym dla skończonego zbioru o rozmiarze n (dla dowolnego n ) i to właśnie ten ostatni wynik (który jest elementarnym twierdzeniem w kombinatoryce) jest możliwy do udowodnienia przez indukcję. Jednak można udowodnić, że niektóre policzalnie nieskończone zbiory niepustych zbiorów mają funkcję wyboru w ZF bez żadnej formy aksjomatu wyboru. Należą do nich V ω - {Ø} oraz zbiór właściwych i ograniczonych otwartych przedziałów liczb rzeczywistych z wymiernymi punktami końcowymi.
Posługiwać się
Jako przykład zastosowania AC ω , oto dowód (z ZF + AC ω ), że każdy nieskończony zbiór jest Dedekind-infinite:
- Niech X będzie nieskończone. Dla każdej liczby naturalne n , niech A, n jest zbiorem wszystkich 2 n -elementowe podzbiorów X . Ponieważ X jest nieskończony, każde A n nie jest puste. Pierwsze zastosowanie AC ω daje ciąg ( B n : n = 0, 1, 2, 3, ...), w którym każdy B n jest podzbiorem X z 2 n elementami.
- Zbiory B n niekoniecznie są rozłączne, ale możemy je zdefiniować
- C 0 = B 0
- C n = różnica między B n a sumą wszystkich C j , j < n .
- Oczywiście każdy zbiór C n ma co najmniej 1 i co najwyżej 2 n elementów, a zbiory C n są rozłączne parami. Drugie zastosowanie AC ω daje ciąg ( c n : n = 0,1,2, ...) z c n ∈ C n .
- Zatem wszystkie c n są różne, a X zawiera policzalny zbiór. Funkcja, która odwzorowuje każde c n na c n +1 (i pozostawia wszystkie inne elementy X stałe) jest mapą 1-1 z X do X, która nie jest na, co dowodzi, że X jest nieskończony Dedekind.
Bibliografia
- Jech, Thomas J. (1973). Aksjomat wyboru . Holandia Północna. s. 130–131. ISBN 978-0-486-46624-8 .
- Herrlich, Horst (1997). „Zasady wyboru w elementarnej topologii i analizie” (PDF) . Comment.Math.Univ.Carolinae . 38 (3): 545.
- Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). „Konsekwencje aksjomatu wyboru” . Providence, RI . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 978-0-8218-0977-8 .
- Potter, Michael (2004). Teoria mnogości i jej filozofia: krytyczne wprowadzenie . Oxford University Press. p. 164. ISBN 9780191556432 .
Ten artykuł zawiera materiał z aksjomatu policzalnego wyboru w PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution / Share-Alike License .