Funkcja automorficzna - Automorphic function

W matematyce funkcja automorficzna to funkcja na przestrzeni, która jest niezmienna pod działaniem pewnej grupy , czyli funkcja na przestrzeni ilorazu . Często przestrzeń jest złożoną rozmaitością, a grupa jest grupą dyskretną .

Czynnik automorfii

W matematyce pojęcie czynnika automorfii powstaje dla grupy działającej na rozmaitości analitycznej zespolonej . Załóżmy, że grupa działa na rozmaitości złożonej analitycznej . Działa wtedy również na przestrzeni funkcji holomorficznych od do liczb zespolonych. Funkcja nazywana jest formą automorficzną, jeśli zachodzi następujące warunki: ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle f}$

${\ Displaystyle f (gx) = j_ {g} (x) f (x)}$

gdzie jest wszędzie niezerową funkcją holomorficzną. Równoważnie forma automorficzna jest funkcją, której dzielnik jest niezmienny pod działaniem . ${\ Displaystyle j_ {g} (x)}$${\ Displaystyle G}$

Czynnikiem automorphy dla postaci automorficznych jest funkcja . Funkcja automorficzna to forma automorficzna, dla której jest tożsamość. ${\displaystyle f}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$

Kilka faktów na temat czynników automorfii:

• Każdy czynnik automorfii jest kocyklem dla działania na multiplikatywną grupę wszędzie niezerowych funkcji holomorficznych.${\ Displaystyle G}$
• Czynnik automorfii jest współgranicą wtedy i tylko wtedy, gdy wynika z wszędzie niezerowej formy automorficznej.
• Dla danego czynnika automorfii przestrzeń form automorficznych jest przestrzenią wektorową.
• Iloczyn punktowy dwóch form automorficznych jest formą automorficzną odpowiadającą iloczynowi odpowiednich czynników automorfii.

Związek między czynnikami automorfii a innymi pojęciami:

• Niech będzie kratą w grupie Liego . Wówczas współczynnik automorfii dla odpowiada wiązce liniowej na grupie ilorazowej . Ponadto formy automorficzne dla danego czynnika automorfii odpowiadają odcinkom odpowiedniej wiązki liniowej.${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\displaystyle G/\gamma}$

Konkretny przypadek podgrupy SL (2,  R ), działającej na górną półpłaszczyznę , omówiono w artykule o czynnikach automorficznych . ${\ Displaystyle \ Gamma}$

Przykłady

• grupa kleinowska
• Eliptyczna funkcja modułowa
• Funkcja modułowa
• Złożony torus

Bibliografia

• AN Parshin (2001) [1994], "Forma automorficzna" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• Andrianow, AN; Parshin, AN (2001) [1994], "Funkcja automorficzna" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• Ford, Lester R. (1929), funkcje automorficzne , New York, McGraw-Hill, ISBN 978-0-8218-3741-2, JFM  55.0810.04
• Fricke, Robert ; Klein Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster zespół; Die gruppentheoretischen Grundlagen. (w języku niemieckim), Lipsk: BG Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM  28.0334.01
• Fricke, Robert; Klein Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen. (w języku niemieckim), Lipsk: BG Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM  32.0430.01