Kąt równoległości - Angle of parallelism

Jeśli kąt B jest odpowiednia i AA i BB ograniczające równolegle czym kąt pomiędzy Aa i AB jest kąt zbieżności.

W geometrii hiperbolicznej The kąt zbieżności , to kąt w jednym wierzchołku prawej hiperbolicznej trójkąta , który ma dwa asymptotyczne równoległe boki. Kąt zależy od długości odcinka A pomiędzy kątem prostym i wierzchołka kąta równoległości. ${\ Displaystyle \ Pi (a)}$

Biorąc pod uwagę punkt, od linii, jeżeli spadek prostopadłą do linii od punktu, następnie jest odległością wzdłuż tej prostopadłej segmentu i φ lub jest przynajmniej kąt tak, że linia przebiegająca przez punkt tego kąta nie przecinają daną linię. Ponieważ dwa boki są równoległe asymptotyczna, ${\ Displaystyle \ Pi (a)}$

${\ Displaystyle \ lim _ {A \ do 0} \ Pi (A) = {\ tfrac {1} {2}} \ pi \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ lim _ {A \ z \ infty } \ Pi (A) = 0.}$

Istnieje pięć równoważne wyrażenia, które odnoszą się i : ${\ Displaystyle \ Pi (a)}$

${\ Displaystyle \ sin \ Pi (A) = \ OperatorName {sech} A = {\ Frac {1} {\ cosh a}} = {\ Frac {2}, {e ^ {A} + e ^ {- A} }} \}$

${\ Displaystyle \ bo \ Pi (A) = \ tanh a = {\ uł {e ^ {A} ^ -e {-} {A} e ^ {A} + E {^ - a}}} \}$

${\ Displaystyle \ tan \ Pi (A) = \ OperatorName {CSCH} A = {\ Frac {1} {\ sinh a}} = {\ Frac {2}, {e ^ {A} ^ -e {- A} }} \}$

${\ Displaystyle \ tan \ lewo ({\ tfrac {1} {2}} \ Pi (a) \ prawej) = E {^ - a}}$

${\ Displaystyle \ Pi (A) = {\ tfrac {1} {2}} \ pi - \ OperatorName {gd} (A)}$

gdzie sinh, cosh, tanh, sech i CSCH są funkcje hiperboliczne i gd jest funkcja gudermanna .

Budowa

János Bolyai odkrył konstrukcję, która nadaje się asymptotyczne równoległe S do linii r przechodzącej przez punkt A, a nie na badania . Upuść prostopadle A na B w r . Można wybrać dowolny punkt C na R inny niż B . Wyprostowany prostopadłe T do R przy C . Upuść prostopadle A na D o t . Wtedy długość DA jest dłuższy niż CB , ale krótszy niż Kalifornia . Narysować okrąg wokół C o promieniu równym DA . Będzie on przecina odcinek AB w punkcie E . Wtedy kąt BEC jest niezależna od długości BC , który zależy jedynie od AB ; to jest kąt równoległości. Konstrukt S przez A pod kątem BEC od AB .

${\ Displaystyle \ sin BEC = {\ Frac {\ sinh {BC}} {\ sinh {CE}}} = {\ Frac {\ sinh {BC}} {\ sinh {DA}}} = {\ Frac {\ SINH {BC}} {\ sin {ACD} \ SINH {CA}}} = {\ frac {\ SINH {BC}} {\ cos {ACB} \ sinh {CA}}} = {\ Frac {\ sinh { BC} \ tanh {CA}} {\ tanh {CB} \ sinh {CA}}} = {\ Frac {\ cosh {BC}} {\ cosh {CA}}} = {\ Frac {\ cosh {BC} } {\ cosh {CB} \ cosh {AB}}} = {\ Frac {1} {\ cosh {AB}}} \} ,.$

Zobacz Trygonometria prawych trójkątów o wzorach stosowanych tutaj.

Historia

Kąt równoległości został opracowany w 1840 roku w niemieckiej publikacji „Teoria geometryczna Untersuchungen zur der Parallellinien” przez Nicolai Lobachevsky .

Publikacja ta stała się powszechnie znana w języku angielskim po profesora Texas GB Halsted produkowanego tłumaczenie w 1891 ( Badania geometrycznych na teorii Parallels )

Poniższe fragmenty określają tę kluczową koncepcję w geometrii hiperbolicznej:

Kąt pomiędzy równoległymi HAD HA i prostopadłą AD zwany kąt równoległy (kąt zbieżności), który zostanie tutaj wyznaczenia przez Õ (p) AD = p .

Demonstracja

Kąt zbieżności, φ sformułowane jako: (A) kąt od osi x i linią biegnącą od x , środka Q , do Y , y-odcięta Q, i (b), kąt pomiędzy tangens Q o y do osi y.
Ten schemat, z żółtym trójkątem idealnym , jest podobny do znalezionego w książce Smogorzhevsky.

W Model Poincarégo płaszczyzny hiperbolicznej (patrz hiperbolicznej ruchów ), można ustalić stosunek cp do z geometrii euklidesowej . Niech P być półkole o średnicy w sprawie x -osiowy który przechodzi przez punkty (1,0) i (0, y ), gdzie y > 1 Ponieważ Q jest styczna do półkola jednostkę środku w pochodzenia, dwóch półokręgów stanowią równoległe hiperboliczne linii . Y -osiowy przecina zarówno półkola, tworząc kąt prosty z półokręgu jednostkowej i zmiennym kącie cp z Q . Kąt nachylenia w środku Q leżącym naprzeciwko długość promienia (0,  y ) jest φ ponieważ obydwa kąty mieć boki, które są prostopadłe, po lewej stronie na lewej stronie i prawej strony do prawej strony. Półkole Q ma swój środek w ( x , 0) x <0, więc jej promień jest 1 -  x . Tak więc, promień kwadratowy Q jest

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (1-x) ^ {2}}$

stąd

${\ Displaystyle X = {\ tfrac {1} {2}} (1-y ^ {2}).}$

Metryczny z Model Poincarégo geometrii hiperbolicznej parametrizes odległości od promienia {(0,  y ): a > 0} ze środka logarytmicznej . Niech log  y = a , więc y = e ^A gdzie e jest podstawa logarytmu naturalnego . Wtedy stosunek φ i można wywnioskować z trójkąta {( x , 0) (0, 0) (0,  y )}, na przykład:

${\ Displaystyle \ tan \ fi = {\ Frac {y} - {x}} = {\ Frac {2y} {y ^ {2} -1}} = {\ Frac {2e ^ {A}} {e ^ {2a} -1}} = {\ Frac {1} {\ sinh a}}.}$

Referencje

• Marvin Greenberg, J. (1974) euklidesowa i nieeuklidesowa geometryczne , str. 211-3, WH Freeman & Company .
• Robin Hartshorne (1997) Companion do Euclid ss. 319, 325, American Mathematical Society , ISBN  0821807978 .
• Jeremy Grey (1989) Pomysły powierzchni: euklidesowej, nieeuklidesowa i relatywistycznej , 2nd edition, Clarendon Press , Oxford (patrz strony 113 do 118).
• Béla Kerékjártó (1966) Les Fondements de la geometria , Tome Deux, §97.6 Angle de parallélisme de la geometria hyperbolique, pp. 411,2, Akadémiai Kiado, Budapeszt.