Wariancja Allana - Allan variance

Zegar najłatwiej przetestować porównując go z dużo dokładniejszym zegarem referencyjnym. Podczas przedziału czasu τ , mierzonego przez zegar odniesienia, testowany zegar przesuwa się do przodu o τy , gdzie y jest średnią (względną) częstotliwością zegara w tym przedziale. Jeśli mierzymy dwa kolejne przedziały, jak pokazano, możemy otrzymać wartość ( y − y ′) ² — mniejsza wartość oznacza bardziej stabilny i precyzyjny zegar. Jeśli powtórzymy tę procedurę wiele razy, średnia wartość ( y − y ′) ² jest równa dwukrotności wariancji Allana (lub kwadratu odchylenia Allana) dla czasu obserwacji τ .

Allan wariancji ( AVAR ), znany również jako wariancji dwóch próbek jest miarą stabilności częstotliwości w zegary , oscylatory i wzmacniacze . Jego nazwa pochodzi od Davida W. Allana i jest matematycznie wyrażona jako . Odchylenie Allan ( ADEV ), znany również jako Sigma-Tau jest pierwiastek kwadratowy wariancji Allan . ${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau)}$${\ Displaystyle \ sigma _ {y} (\ tau)}$

M Próbka odchylenie jest miarą stabilności częstotliwości z wykorzystaniem M próbek, czasu T pomiędzy pomiarami oraz czas obserwacji . M – wariancja próbki jest wyrażona jako ${\ Displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (M, T \ tau).}$

Wariancja Allana ma na celu oszacowanie stabilności spowodowanej procesami szumowymi, a nie systematycznymi błędami lub niedoskonałościami, takimi jak dryf częstotliwości lub wpływ temperatury. Wariancja Allana i odchylenie Allana opisują stabilność częstotliwości. Zobacz także sekcję Interpretacja wartości poniżej.

Istnieją również różne adaptacje lub zmiany wariancji Allana, w szczególności zmodyfikowana wariancja Allana MAVAR lub MVAR, wariancja całkowita i wariancja Hadamarda . Istnieją również warianty stabilności czasowej, takie jak odchylenie czasowe (TDEV) lub wariancja czasowa (TVAR). Wariancja Allana i jej warianty okazały się przydatne poza zakresem pomiaru czasu i stanowią zestaw ulepszonych narzędzi statystycznych do wykorzystania, gdy procesy szumu nie są bezwarunkowo stabilne, a zatem istnieje pochodna.

Ogólna wariancja próbki M pozostaje ważna, ponieważ pozwala na czas martwy w pomiarach, a funkcje biasu umożliwiają konwersję na wartości wariancji Allana. Niemniej jednak, dla większości zastosowań, szczególny przypadek 2-próbki lub „wariancji Allana” jest najbardziej interesujący. ${\displaystyle T=\tau}$

Przykładowy wykres odchylenia Allana zegara. Przy bardzo krótkim czasie obserwacji τ , odchylenie Allana jest wysokie z powodu szumu. Przy dłuższym τ zmniejsza się, ponieważ szum się uśrednia. Przy jeszcze dłuższym τ odchylenie Allana zaczyna ponownie rosnąć, co sugeruje, że częstotliwość zegara stopniowo dryfuje z powodu zmian temperatury, starzenia się komponentów lub innych podobnych czynników. Słupki błędów rosną wraz z τ po prostu dlatego, że uzyskanie dużej ilości punktów danych dla dużego τ jest czasochłonne .

Tło

Badając stabilność oscylatorów kryształowych i zegarów atomowych , stwierdzono, że nie mają one szumu fazowego składającego się tylko z białego szumu , ale również z szumu o częstotliwości migotania . Te formy szumu stają się wyzwaniem dla tradycyjnych narzędzi statystycznych, takich jak odchylenie standardowe , ponieważ estymator nie będzie zbieżny. Mówi się zatem, że hałas jest rozbieżny. Wczesne próby analizy stabilności obejmowały zarówno analizę teoretyczną, jak i pomiary praktyczne.

Ważną, uboczną konsekwencją posiadania tego rodzaju szumów było to, że ponieważ różne metody pomiarów nie były ze sobą zgodne, nie można było osiągnąć kluczowego aspektu powtarzalności pomiaru. Ogranicza to możliwość porównywania źródeł i tworzenia znaczących specyfikacji wymaganych od dostawców. Zasadniczo wszystkie formy zastosowań naukowych i komercyjnych ograniczały się wówczas do dedykowanych pomiarów, które, miejmy nadzieję, oddałyby potrzebę takiego zastosowania.

Aby rozwiązać te problemy, David Allan wprowadził wariancję próby M i (pośrednio) wariancję dwóch prób. Chociaż wariancja dwóch próbek nie pozwalała całkowicie na rozróżnienie wszystkich rodzajów szumu, dostarczyła środków do znaczącego oddzielenia wielu form szumu dla szeregów czasowych pomiarów fazy lub częstotliwości między dwoma lub większą liczbą oscylatorów. Allan dostarczył metodę konwersji między dowolną wariancją próby M na dowolną wariancję próby N poprzez wspólną wariancję dwóch prób, dzięki czemu wszystkie wariancje próby M są porównywalne. Mechanizm konwersji dowiódł również, że wariancja próbek M nie jest zbieżna dla dużych M , co czyni je mniej użytecznymi. IEEE określiło później wariancję 2 próbek jako preferowaną miarę.

Wczesne obawy dotyczyły przyrządów do pomiaru czasu i częstotliwości, które miały czas martwy między pomiarami. Taka seria pomiarów nie tworzyła ciągłej obserwacji sygnału i tym samym wprowadzała systematyczne obciążenie do pomiaru. W oszacowaniu tych uprzedzeń poświęcono dużą uwagę. Wprowadzenie liczników zerowego czasu martwego usunęło tę potrzebę, ale narzędzia do analizy stronniczości okazały się przydatne.

Inny wczesny aspekt niepokojący dotyczył tego, w jaki sposób szerokość pasma instrumentu pomiarowego wpłynie na pomiar, tak że należy to odnotować. Później stwierdzono, że algorytmiczna zmiana obserwacji wpłynie tylko na niskie wartości, podczas gdy wartości wyższe pozostaną nienaruszone. Zmianę dokonuje się przez przyjęcie całkowitej wielokrotności podstawy czasu pomiaru : ${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ tau _ {0}}$

${\ Displaystyle \ tau = n \ tau _ {0}.}$

Fizyka oscylatorów kryształowych została przeanalizowana przez DB Leesona, a wynik jest obecnie określany jako równanie Leesona . Sprzężenie zwrotne w oscylatorze spowoduje, że biały szum i szum migotania wzmacniacza sprzężenia zwrotnego i kryształu staną się szumami mocy, odpowiednio, białym szumem i szumem o częstotliwości migotania. Te formy szumu powodują, że standardowy estymator wariancji nie jest zbieżny podczas przetwarzania próbek błędów czasowych. Ta mechanika oscylatorów sprzężenia zwrotnego była nieznana, gdy rozpoczęto prace nad stabilnością oscylatorów, ale została zaprezentowana przez Leesona w tym samym czasie, gdy zestaw narzędzi statystycznych został udostępniony przez Davida W. Allana . Bardziej dokładną prezentację na temat efektu Leesona można znaleźć we współczesnej literaturze dotyczącej szumu fazowego. ${\ Displaystyle f ^ {-2}}$${\ Displaystyle f ^ {-3}}$

Interpretacja wartości

Wariancję Allana definiuje się jako połowę średniej czasowej kwadratów różnic między kolejnymi odczytami odchylenia częstotliwości próbkowanego w okresie próbkowania. Wariancja Allana zależy od okresu czasu między próbkami, dlatego jest funkcją okresu próbkowania, zwykle oznaczanego jako τ , podobnie jak mierzony rozkład, i jest wyświetlana jako wykres, a nie pojedyncza liczba. Niska wariancja Allana jest cechą zegara o dobrej stabilności w mierzonym okresie.

Odchylenie Allana jest szeroko stosowane do tworzenia wykresów (zwykle w formacie log-log ) i prezentacji liczb. Jest to preferowane, ponieważ zapewnia względną stabilność amplitudy, umożliwiając łatwe porównanie z innymi źródłami błędów.

Odchylenie Allana wynoszące 1,3 × 10 ^-9 w czasie obserwacji 1 s (tj. τ = 1 s) należy interpretować jako niestabilność częstotliwości między dwiema obserwacjami w odstępie 1 sekundy przy względnej wartości średniej kwadratowej (RMS) wynoszącej 1,3 × 10 ^-9 . Dla zegara 10 MHz byłoby to równoważne ruchowi 13 MHz RMS. Jeśli potrzebna jest stabilność fazowa oscylatora, należy skonsultować i zastosować warianty odchylenia czasowego .

Można przekształcić wariancję Allana i inne wariancje w dziedzinie czasu na miary czasu (fazy) i stabilności częstotliwości w dziedzinie częstotliwości.

Definicje

M – wariancja próbki

-Sample wariancja jest zdefiniowana (tutaj w zmodernizowanej formie notacji) jako ${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ Sigma _ {y} ^ {2} (M, T \ tau) = {\ Frac {1} {M-1}} \ lewo \ {\ suma _ {i = 0} ^ {M- 1}\left[{\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\right]^{2}-{\frac {1}{M}}\left[\sum _ {i=0}^{M-1}{\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\prawo]^{2}\prawo\},}$

gdzie jest odczyt zegara (w sekundach) mierzony w czasie lub z szeregiem czasowym średniej częstotliwości ułamkowej${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle t}$

${\ Displaystyle \ Sigma _ {y} ^ {2} (M, T \ tau) = {\ Frac {1} {M-1}} \ lewo \ {\ suma _ {i = 0} ^ {M- 1}{\bar {y}}_{i}^{2}-{\frac {1}{M}}\left[\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y }}_{i}\right]^{2}\right\},}$

gdzie jest liczbą próbek częstotliwości używanych w wariancji, jest czasem między każdą próbką częstotliwości i jest długością czasu każdej estymaty częstotliwości. ${\ Displaystyle M}$${\displaystyle T}$${\ Displaystyle \ tau}$

Ważnym aspektem jest to, że model -sample wariancji może obejmować czas martwy, pozwalając, aby czas był inny niż . ${\ Displaystyle M}$${\displaystyle T}$${\ Displaystyle \ tau}$

Wariancja Allana

Wariancja Allana jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (2, \ tau \ tau) \ rangle}$

gdzie oznacza operator oczekiwania. Można to wygodnie wyrazić jako ${\ Displaystyle \ langle \ kropki \ rangle}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = {\ Frac {1} {2}} \ langle ({\ bar {y}} _ {n + 1} - {\ bar {y }}_{n})^{2}\rangle ={\frac {1}{2\tau ^{2}}}\langle (x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n })^{2}\rangle ,}$

gdzie jest okresem obserwacji, jest n- tą ułamkową średnią częstości w czasie obserwacji . ${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {n}}$${\ Displaystyle \ tau}$

Próbki są pobierane bez przerwy między nimi, co osiąga się przez wypuszczenie

${\displaystyle T=\tau.}$

Odchylenie Allana

Podobnie jak w przypadku odchylenia standardowego i wariancji , odchylenie Allana definiuje się jako pierwiastek kwadratowy z wariancji Allana:

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} (\ tau) = {\ sqrt {\ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau)}}.}$

Definicje pomocnicze

Model oscylatora

Przyjmuje się, że analizowany oscylator jest zgodny z podstawowym modelem

${\ Displaystyle V (t) = V_ {0} \ grzech (\ Phi (t)).}$

Zakłada się, że oscylator ma częstotliwość nominalną , wyrażoną w cyklach na sekundę (jednostka SI: herc ). Nominalna częstotliwość kątowa (w radianach na sekundę) jest wyrażona wzorem ${\ Displaystyle \ nu _ {\ tekst {n}}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {\ tekst {n}}}$

${\ Displaystyle \ omega _ {\ tekst {n}} = 2 \ pi \ nu _ {\ tekst {n}}.}$

Całą fazę można rozdzielić na doskonale cykliczny składnik wraz ze składnikiem zmiennym : ${\ Displaystyle \ omega _ {\ tekst {n}} t}$${\ Displaystyle \ varphi (t)}$

${\ Displaystyle \ Phi (t) = \ omega _ {\ tekst {n}} t + \ varphi (t) = 2 \ pi \ nu _ {\ tekst {n}} t + \ varphi (t).}$

Błąd czasu

Funkcja błędu czasowego x ( t ) jest różnicą między oczekiwanym czasem nominalnym a rzeczywistym czasem normalnym:

${\ Displaystyle x (t) = {\ Frac {\ varphi (t)} {2 \ pi \ nu _ {\ tekst {n}}}} = {\ Frac {\ Phi (t)} {2 \ pi \ nu _{\text{n}}}}-t=T(t)-t.}$

Dla wartości mierzonych szereg błędów czasowych TE( t ) jest definiowany z funkcji czasu odniesienia T _REF ( t ) jako

${\ Displaystyle TE (t) = T (t)-T _ {\ tekst {REF}} (t).}$

Funkcja częstotliwości

Funkcja częstotliwości to częstotliwość w czasie, zdefiniowana jako ${\ Displaystyle \ nu (t)}$

${\ Displaystyle \ nu (t) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} {\ Frac {d \ Phi (t)} {dt}}.}$

Częstotliwość ułamkowa

Częstotliwość ułamkowa y ( t ) jest znormalizowaną różnicą między częstotliwością a częstotliwością nominalną : ${\ Displaystyle \ nu (t)}$${\ Displaystyle \ nu _ {\ tekst {n}}}$

${\ Displaystyle y (t) = {\ Frac {\ nu (t) - \ nu _ {\ tekst {n}}} {\ nu _ {\ tekst {n}}}} = {\ Frac {\ nu ( t)}{\nu _{\text{n}}}}-1.}$

Średnia częstotliwość ułamkowa

Średnia częstotliwość ułamkowa jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle {\ bar {y}} (t \ tau) = {\ Frac {1} {\ tau}} \ int \ limity _ {0} ^ {\ tau} y (t + t_ {v}) \,dt_{v},}$

gdzie średnia jest brana z czasu obserwacji τ , y ( t ) jest błędem częstotliwości ułamkowej w czasie t , a τ jest czasem obserwacji.

Ponieważ y ( t ) jest pochodną x ( t ), możemy bez utraty ogólności przepisać ją jako

${\ Displaystyle {\ bar {y}} (t \ tau) = {\ Frac {x (t + \ tau) -x (t)} {\ tau}}.}$

Estymatory

Ta definicja opiera się na statystycznej wartości oczekiwanej , całkującej w nieskończonym czasie. Sytuacja w świecie rzeczywistym nie pozwala na takie szeregi czasowe, w którym to przypadku należy użyć estymatora statystycznego w jego miejsce. Przedstawionych i omówionych zostanie szereg różnych estymatorów.

Konwencje

• Liczba próbek częstotliwości w szeregu o częstotliwościach ułamkowych jest oznaczona jako M .
• Liczba próbek błędu czasu w serii błędów czasu jest oznaczona przez N .

Zależność między liczbą próbek o ułamkowej częstotliwości a szeregami błędów czasowych jest ustalona w zależności

${\ Displaystyle N = M + 1.}$

• Dla serii próbek błędu czasowego , x _i oznacza i-tą próbkę ciągłej funkcji czasu x ( t ) według wzoru

${\ Displaystyle x_ {i} = x (i T)}$

gdzie T jest czasem między pomiarami. Dla wariancji Allana stosowany czas ma T ustawiony na czas obserwacji τ .

Seria próbek błędu czasowego niech N oznacza liczbę próbek ( x ₀ ... x _{N −1} ) w serii. Konwencja tradycyjna używa indeksu od 1 do N .

• Dla przeciętnego cząstkowej częstotliwości próbkowania serii oznacza ı próbka średniej funkcji ciągłej cząstkowej częstotliwości y ( t ) podanej przez${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i}}$

${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = {\ bar {y}} (Ti \ tau),}$

co daje

${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = {\ Frac {1} {\ tau}} \ int \ limity _ {0} ^ {\ tau} r (iT + t_ {v}) \, dt_{v}={\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}.}$

Dla założenia wariancji Allana, że T jest τ staje się

${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = {\ Frac {x_ {i + 1}-x_ {i}} {\ tau}}.}$

Średnia cząstkowej częstotliwości próbki serii pozwala M oznacza liczbę próbek ( ) w serii. Konwencja tradycyjna używa indeksu od 1 do M . ${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {0} \ ldots {\ bar {y}} _ {M-1}}$

W skrócie, średnia częstotliwość ułamkowa jest często zapisywana bez średniej kreski nad nią. Jest to jednak formalnie niepoprawne, ponieważ częstość ułamkowa i średnia częstość ułamkowa to dwie różne funkcje. Instrument pomiarowy zdolny do oszacowania częstotliwości bez czasu martwego w rzeczywistości dostarczy szeregi czasowe średniej częstotliwości, które należy jedynie przekonwertować na średnią częstotliwość ułamkową, a następnie wykorzystać bezpośrednio.

• Ponadto przyjęło się, aby τ oznaczało nominalną różnicę czasu pomiędzy sąsiednimi próbkami fazy lub częstotliwości. Szereg czasowy wzięty dla jednej różnicy czasu τ ₀ może być użyty do wygenerowania wariancji Allana dla dowolnego τ będącego całkowitą wielokrotnością τ ₀ , w którym to przypadku używane są τ = nτ ₀ , a n staje się zmienną dla estymatora.
• Czas pomiędzy pomiarami oznaczany jest przez T , który jest sumą czasu obserwacji τ i czasu martwego.

Stałe estymatory τ

Pierwszym prostym estymatorem byłoby bezpośrednie przetłumaczenie definicji na:

${\ Displaystyle \ Sigma _ {y} ^ {2} (\ tau, M) = {\ tekst {AVAR}} (\ tau, M) = {\ Frac {1} {2 (M-1)}} \ suma _{i=0}^{M-2}({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i})^{2},}$

lub dla szeregu czasowego:

${\ Displaystyle \ Sigma _ {y} ^ {2} (\ tau, N) = {\ tekst {AVAR}} (\ tau, N) = {\ Frac {1} {2 \ tau ^ {2} (N -2)}}\sum _{i=0}^{N-3}(x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i})^{2}.}$

Jednak te wzory dostarczają obliczeń tylko dla przypadku τ = τ ₀ . Aby obliczyć dla innej wartości τ , należy podać nowy szereg czasowy.

Nienakładające się estymatory zmiennych τ

Biorąc szeregi czasowe i pomijając n  − 1 próbek, pojawiłby się nowy (krótszy) szereg czasowy z τ ₀ jako czasem między sąsiednimi próbkami, dla którego wariancja Allana mogłaby być obliczona za pomocą prostych estymatorów. Można je zmodyfikować, aby wprowadzić nową zmienną n, tak aby nie trzeba było generować nowych szeregów czasowych, ale zamiast tego można by ponownie wykorzystać oryginalne szeregi czasowe dla różnych wartości n . Estymatorzy stają się

${\ Displaystyle \ Sigma _ {y} ^ {2} (n \ tau _ {0}, M) = {\ tekst {AVAR}} (n \ tau _ {0}, M) = {\ Frac {1} {2{\frac {M-1}{n}}}}\sum _{i=0}^{{\frac {M-1}{n}}-1}({\bar {y}}_ {ni+n}-{\bar {y}}_{ni})^{2}}$

z , ${\displaystyle n\leq M-1}$

a dla szeregów czasowych:

${\ Displaystyle \ Sigma _ {y} ^ {2} (n \ tau _ {0}, N) = {\ tekst {AVAR}} (n \ tau _ {0}, N) = {\ Frac {1} {2n^{2}\tau _{0}^{2}({\frac {N-1}{n}}-1)}}\sum _{i=0}^{{\frac {N- 1}{n}}-2}(x_{ni+2n}-2x_{ni+n}+x_{ni})^{2}}$

z . ${\displaystyle n\leq {\frac {N-1}{2}}}$

Te estymatory mają istotną wadę polegającą na tym, że odrzucają znaczną ilość danych próbki, ponieważ wykorzystywana jest tylko 1/ n dostępnych próbek.

Nakładające się estymatory zmiennej τ

Technika przedstawiona przez JJ Snydera zapewniła ulepszone narzędzie, ponieważ pomiary nakładały się w n nakładających się seriach z serii oryginalnej. Estymator nakładającej się wariancji Allana został wprowadzony przez Howe, Allana i Barnesa. Można wykazać, że jest to równoważne uśrednianiu próbek czasu lub znormalizowanej częstotliwości w blokach n próbek przed przetwarzaniem. Wynikający predyktor staje się

${\ Displaystyle \ Sigma _ {y} ^ {2} (n \ tau _ {0}, M) = {\ tekst {AVAR}} (n \ tau _ {0}, M) = {\ Frac {1} {2n^{2}(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left(\sum _{i=j}^{j+n-1}y_{ i+n}-y_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left ({\bar {y}}_{j+n}-{\bar {y}}_{j}\right)^{2},}$

lub dla szeregu czasowego:

${\ Displaystyle \ Sigma _ {y} ^ {2} (n \ tau _ {0}, N) = {\ tekst {AVAR}} (n \ tau _ {0}, N) = {\ Frac {1} {2n^{2}\tau _{0}^{2}(N-2n)}}\sum _{i=0}^{N-2n-1}(x_{i+2n}-2x_{i +n}+x_{i})^{2}.}$

Nakładające się estymatory mają znacznie lepszą wydajność niż estymatory nienakładające się, ponieważ n rośnie, a szereg czasowy ma umiarkowaną długość. Estymatory nakładające się zostały zaakceptowane jako preferowane estymatory wariancji Allana w standardach IEEE, ITU-T i ETSI dla porównywalnych pomiarów, takich jak wymagane do kwalifikacji telekomunikacyjnej.

Zmodyfikowana wariancja Allana

Aby rozwiązać problem braku możliwości oddzielenia modulacji fazy białej od modulacji fazy migotania przy użyciu tradycyjnych estymatorów wariancji Allana, filtrowanie algorytmiczne zmniejsza szerokość pasma o n . To filtrowanie zapewnia modyfikację definicji i estymatorów i jest teraz identyfikowane jako oddzielna klasa wariancji zwana zmodyfikowaną wariancją Allana . Zmodyfikowana miara wariancji Allana jest miarą stabilności częstotliwości, podobnie jak wariancja Allana.

Estymatory stabilności czasu

Na podstawie zmodyfikowanego odchylenia Allana (MDEV) można obliczyć statystyczną miarę stabilności czasowej (σ _x ), którą często nazywa się odchyleniem czasowym (TDEV). TDEV jest oparty na MDEV zamiast na oryginalnym odchyleniu Allana, ponieważ MDEV może rozróżniać modulację fazy bieli i migotania (PM). Poniżej przedstawiono oszacowanie wariancji czasowej na podstawie zmodyfikowanej wariancji Allana:

${\ Displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} (\ tau ) = {\ Frac {\ tau ^ {2}} {3}} {\ bmod {\ sigma}} _ {y} ^ {2} ( \tau ),}$

i podobnie dla zmodyfikowanej odchyłki Allana do odchyłki czasowej :

${\ Displaystyle \ sigma _ {x} (\ tau ) = {\ Frac {\ tau} {\ sqrt {3}}}{\ bmod {\ sigma}}_ {y} (\ tau).}$

Wartość TDEV jest znormalizowana tak, aby była równa odchyleniu klasycznemu białego PM dla stałej czasowej τ =  τ ₀ . Aby zrozumieć współczynnik skali normalizacji między miarami statystycznymi, należy zastosować następującą regułę statystyczną: Dla niezależnych zmiennych losowych X i Y wariancja (σ _z ² ) sumy lub różnicy ( z = x − y ) jest kwadratem sumy ich wariancji (σ _z ² = σ _x ² + σ _y ² ). Wariancja sumy lub różnicy ( y = x _{2 τ} − x _τ ) dwóch niezależnych próbek zmiennej losowej jest dwukrotnością wariancji zmiennej losowej (σ _y ² = 2σ _x ² ). MDEV jest drugą różnicą niezależnych pomiarów fazowych ( x ), które mają wariancję (σ _x ² ). Ponieważ obliczenie jest podwójną różnicą, która wymaga trzech niezależnych pomiarów fazowych ( x _{2 τ} − 2 x _τ + x ), zmodyfikowana wariancja Allana (MVAR) jest trzykrotnością wariancji pomiarów fazowych.

Inne estymatory

Dalszy rozwój przyniósł ulepszone metody szacowania dla tej samej miary stabilności, wariancji/odchylenia częstości, ale są one znane pod osobnymi nazwami, takimi jak wariancja Hadamarda , zmodyfikowana wariancja Hadamarda , całkowita wariancja , zmodyfikowana całkowita wariancja i wariancja Theo . Wyróżniają się one lepszym wykorzystaniem statystyk w celu poprawy granic ufności lub zdolności do radzenia sobie z liniowym dryfem częstotliwości.

Przedziały ufności i równoważne stopnie swobody

Estymatory statystyczne obliczą szacunkową wartość na użytej serii próbek. Oszacowania mogą odbiegać od wartości prawdziwej, a przedział wartości, który z pewnym prawdopodobieństwem będzie zawierał wartość prawdziwą, nazywa się przedziałem ufności . Przedział ufności zależy od liczby obserwacji w serii próbek, dominującego typu szumu i używanego estymatora. Szerokość zależy również od pewności statystycznej, dla której wartości przedziału ufności tworzą ograniczony zakres, a zatem statystyczną pewność, że prawdziwa wartość mieści się w tym zakresie wartości. Dla estymatorów zmiennej τ , wielokrotność τ ₀ n jest również zmienną.

Przedział ufności

Przedział ufności można ustalić stosując rozkład chi-kwadrat za pomocą dystrybucji próbek wariancji :

${\ Displaystyle \ chi ^ {2} = {\ Frac {{\ tekst {df}} \ s ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}}}$

gdzie s ² to wariancja próbki naszego oszacowania, σ ² to prawdziwa wartość wariancji, df to stopnie swobody estymatora, a χ ² to stopnie swobody dla pewnego prawdopodobieństwa. Dla prawdopodobieństwa 90%, obejmującego zakres od 5% do 95% na krzywej prawdopodobieństwa, górną i dolną granicę można znaleźć za pomocą nierówności

${\ Displaystyle \ chi ^ {2} (0,05) \ leq {\ frac {{\ tekst {df}} \ s ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}} \ leq \ chi ^ {2} (0,95),}$

które po przegrupowaniu dla prawdziwej wariancji staje się

${\ Displaystyle {\ Frac {{\ tekst {df}} \ s ^ {2}} {\ chi ^ {2} (0,95)}} \ leq \ sigma ^ {2} \ leq {\ Frac {{\ tekst{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.05)}}.}$

Efektywne stopnie swobody

Te stopnie swobody oznacza liczbę zmiennych wolnych, zdolnych do przyczynienia się do oszacowania. W zależności od estymatora i typu szumu efektywne stopnie swobody są różne. Formuły estymatorów w zależności od N i n zostały znalezione empirycznie:

Stopnie swobody wariancji Allana

Rodzaj hałasu	stopnie swobody
modulacja fazy białej (WPM)	${\ Displaystyle {\ tekst {df}} \ cong {\ Frac {(N + 1) (N-2n)} {2 (Nn)}}}$
modulacja fazy migotania (FPM)	${\ Displaystyle {\ tekst {df}} \ cong \ exp \ lewo [\ lewo (\ ln {\ Frac {N-1} {2n}} \ ln {\ Frac {(2n + 1) (N-1) }{4}}\right)^{-1/2}\right]}$
modulacja częstotliwości białej (WFM)	${\ Displaystyle {\ tekst {df}} \ cong \ lewo [{\ Frac {3 (N-1)} {2n}} - {\ Frac {2 (N-2)} {N}} \ prawej] { \frac {4n^{2}}{4n^{2}+5}}}$
modulacja częstotliwości migotania (FFM)	${\ Displaystyle {\ tekst {df}} \ cong {\ zacząć {przypadki} {\ Frac {2 (N-2)} {2.3N-4,9}} i n = 1 \ \ {\ Frac {5 N ^ {2} }{4n(N+3n)}}&n\geq 2\end{przypadki}}}$
modulacja częstotliwości błądzenia losowego (RWFM)	${\ Displaystyle {\ tekst {df}} \ cong {\ Frac {N-2} {n}} {\ Frac {(N-1) ^ {2}-3n (N-1) + 4n ^ {2} }{(N-3)^{2}}}}$

Hałas mocy

Wariancja Allana będzie traktować różne typy szumów prawa potęgowego w różny sposób, umożliwiając ich identyfikację i oszacowanie ich siły. Zwyczajowo szerokość system pomiaru (wysoka częstotliwość odcięcia) nazywana f _H .

Allan variance power-law odpowiedź

Rodzaj szumu mocy	Nachylenie szumu fazowego	Nachylenie szumu częstotliwości	Współczynnik mocy	Szum fazowy ${\ Displaystyle S_ {x} (f)}$	Wariancja Allana ${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau)}$	Odchylenie Allana ${\ Displaystyle \ sigma _ {y} (\ tau)}$
modulacja fazy białej (WPM)	${\ Displaystyle f ^ {0} = 1}$	${\ Displaystyle f ^ {2}}$	${\displaystyle h_{2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {2}}} h_ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {3f_ {H}} {4 \ pi ^ {2} \ tau ^ {2}}} h_ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {3f_ {H}}} {2 \ pi \ tau}} {\ sqrt {h_ {2}}}}$
modulacja fazy migotania (FPM)	${\ Displaystyle f ^ {-1}}$	${\ Displaystyle f ^ {1} = f}$	${\displaystyle h_{1}}$	${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi)^{2}f}}h_{1}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {3 [\ gamma + \ ln (2 \ pi f_ {H} \ tau)] - \ ln 2 {4 \ pi ^ {2} \ tau ^ {2}}} h_ {1 }}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {3 [\ gamma + \ ln (2 \ pi f_ {H} \ tau)] - \ ln 2}} {2 \ pi \ tau}} {\ sqrt {h_ {1 }}}}$
modulacja częstotliwości białej (WFM)	${\ Displaystyle f ^ {-2}}$	${\ Displaystyle f ^ {0} = 1}$	${\displaystyle h_{0}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {2} f ^ {2}}} h_ {0}}$	${\displaystyle {\frac{1}{2\tau}}h_{0}}$	${\displaystyle {\frac{1}{\sqrt {2\tau}}}{\sqrt {h_{0}}}}$
modulacja częstotliwości migotania (FFM)	${\ Displaystyle f ^ {-3}}$	${\ Displaystyle f ^ {-1}}$	${\ Displaystyle h_ {-1}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {2} f ^ {3}}} h_ {-1}}$	${\ Displaystyle 2 \ ln (2) h_ {-1}}$	${\ Displaystyle {\ sqrt {2 \ ln (2)}} {\ sqrt {h_ {-1}}}}$
modulacja częstotliwości błądzenia losowego (RWFM)	${\ Displaystyle f ^ {-4}}$	${\ Displaystyle f ^ {-2}}$	${\ Displaystyle h_ {-2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {2} f ^ {4}}} h_ {-2}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi ^{2}\tau}{3}}h_{-2}}$	${\displaystyle {\frac {\pi {\sqrt {2\tau}}}{\sqrt {3}}}{\sqrt {h_ {-2}}}}$

Jak znaleźć w nowoczesnych formach i we współczesnych formach.

Wariancja Allana nie jest w stanie odróżnić WPM i FPM, ale jest w stanie rozwiązać inne typy szumów prawa mocy. Aby odróżnić WPM i FPM, należy zastosować zmodyfikowaną wariancję Allana .

Powyższe wzory zakładają, że

${\ Displaystyle \ tau \ gg {\ Frac {1} {2 \ pi f_ {H}}}}$

a zatem szerokość pasma czasu obserwacji jest znacznie mniejsza niż szerokość pasma instrumentu. Gdy ten warunek nie jest spełniony, wszystkie formy szumu zależą od szerokości pasma instrumentu.

odwzorowanie α – μ

Szczegółowe odwzorowanie fazy modulacji postaci

${\ Displaystyle S_ {x} (f) = {\ Frac {1} {4 \ pi ^ {2}}} h_ {\ alfa} f ^ {\ alfa -2} = {\ Frac {1} {4 \ pi ^{2}}}h_{\alfa }f^{\beta },}$

gdzie

${\ Displaystyle \ beta \ równoważne \ alfa -2,}$

lub modulacja częstotliwości postaci

${\ Displaystyle S_ {y} (f) = h_ {\ alfa} f ^ {\ alfa}}$

w wariancję Allana formy

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = K_ {\ alfa} h_ {\ alfa} \ tau ^ {\ mu}}$

można znacznie uprościć, zapewniając odwzorowanie między α i μ . Dla wygody przedstawiono również mapowanie między α i K _α :

Wariancja Allana α – odwzorowanie μ

α	β	μ	K α
-2	-4	1	${\displaystyle {\frac {2\pi ^{2}}{3}}}$
-1	-3	0	${\ Displaystyle 2 \ ln 2}$
0	-2	-1	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
1	-1	-2	${\ Displaystyle {\ Frac {3 [\ gamma + \ ln (2 \ pi f_ {H} \ tau)] - \ ln 2 {4 \ pi ^ {2}}}}$
2	0	-2	${\ Displaystyle {\ Frac {3f_ {H}} {4 \ pi ^ {2}}}}$

Ogólna konwersja z szumu fazowego

Sygnał z widmowym szumem fazowym z jednostkami rad ² /Hz można przekonwertować na wariancję Allana przez ${\displaystyle S_{\varphi}}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = {\ Frac {2} {\ nu _ {0} ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {f_ {b}} S_{\varphi }(f){\frac {\sin ^{4}(\pi \tau f)}{(\pi \tau )^{2}}}\,df.}$

Odpowiedź liniowa

Chociaż wariancja Allana ma być używana do rozróżniania form szumu, będzie zależeć od niektórych, ale nie wszystkich, liniowych odpowiedzi na czas. Są one podane w tabeli:

Odpowiedź liniowa wariancji Allana

Efekt liniowy	czas odpowiedzi	Pasmo przenoszenia	Wariancja Allana	Odchylenie Allana
przesunięcie fazy	${\displaystyle x_{0}}$	${\ Displaystyle 0}$	${\ Displaystyle 0}$	${\ Displaystyle 0}$
przesunięcie częstotliwości	${\displaystyle y_{0}t}$	${\displaystyle y_{0}}$	${\ Displaystyle 0}$	${\ Displaystyle 0}$
dryf liniowy	${\ Displaystyle {\ Frac {Dt ^ {2}} {2}}}$	${\ Displaystyle Dt}$	${\ Displaystyle {\ Frac {D ^ {2} \ tau ^ {2}} {2}}}$	${\displaystyle {\frac {D\tau}}{\sqrt {2}}}}$

W ten sposób dryf liniowy przyczyni się do wyniku wyjściowego. Podczas pomiaru rzeczywistego systemu może być konieczne oszacowanie dryftu liniowego lub innego mechanizmu dryftu i usunięcie go z szeregu czasowego przed obliczeniem wariancji Allana.

Właściwości filtra czasu i częstotliwości

Analizując właściwości wariancji Allana i przyjaciół, przydatne okazało się rozważenie właściwości filtra na częstotliwości normalizacji. Począwszy od definicji wariancji Allana dla

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = {\ Frac {1} {2}} \ langle ({\ bar {y}} _ {i + 1} - {\ bar {y }}_{i})^{2}\rangle ,}$

gdzie

${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = {\ Frac {1} {\ tau}} \ int \ limity _ {0} ^ {\ tau} r (i \ tau + t) \ dt .}$

Zastępując szereg czasowy wariantem z transformacją Fouriera, wariancję Allana można wyrazić w dziedzinie częstotliwości jako ${\displaystyle y_{i}}$${\ Displaystyle S_ {y} (f)}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = \ int _ {0} ^ {\ infty} S_ {y} (f) {\ Frac {2 \ grzech ^ {4} \ pi \ tau f}{(\pi \tau f)^{2}}}\,df.}$

Zatem transmitancją dla wariancji Allana jest

${\ Displaystyle \ lewo \ vert H_ {A} (f) \ prawej \ vert ^ {2} = {\ Frac {2 \ grzech ^ {4} \ pi \ tau f} {(\ pi \ tau f) ^ { 2}}}.}$

Funkcje odchylenia

M -sample wariancji, a zdefiniowane szczególny przypadek wariancji Allana, doznają systematycznej stronniczości w zależności od różnej liczby próbek M i różnych relacji między T i τ . W celu rozwiązania tych odchyleń, ukos-funkcje B ₁ i B ₂ została zdefiniowana i umożliwia zamianę różnych M i T wartości.

Te funkcje obciążenia nie są wystarczające do obsługi obciążenia wynikającego z łączenia M próbek z czasem obserwacji Mτ ₀ w MT ₀ z czasem martwym rozłożonym na M bloków pomiarowych, a nie na końcu pomiaru. Ten wygenerowana potrzebę B ₃ odchylenia.

Funkcje biasu są oceniane dla określonej wartości µ, więc mapowanie α–µ musi być wykonane dla dominującej postaci szumu, stwierdzonej przy użyciu identyfikacji szumu . Alternatywnie, wartość µ dominującej postaci szumu można wywnioskować z pomiarów przy użyciu funkcji biasu.

B ₁ funkcja odchylenia

B ₁ funkcja polaryzacji wiąże M -sample wariancji z 2 próbek wariancji (wariancji Allan), utrzymując w czasie pomiędzy pomiarami T i czasu dla każdego pomiarów τ stałych. Jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle B_ {1} (N r \ mu) = {\ Frac {\ lewo \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (N, T \ tau) \ prawo \ rangle { \ lewo \langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }},}$

gdzie

${\ Displaystyle r = {\ Frac {T} {\ tau}}.}$

Funkcja odchylenia staje się po analizie

${\ Displaystyle B_ {1} (N r \ mu) = {\ Frac {1 + \ suma _ {n = 1} ^ {N-1} {\ Frac {Nn} {N (N-1)} }\left[2(rn)^{\mu +2}-(rn+1)^{\mu +2}-|rn-1|^{\mu +2}\right]}{1+{\ szczelina {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}} .}$

B ₂ funkcja odchylenia

B ₂ funkcja polaryzacji dotyczy 2-przykładowy wariancji dla próbki w czasie T z 2 próbek wariancji (wariancji Allan), utrzymując liczby próbek N = 2, a czas obserwacji τ stałej. Jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle B_ {2} (r \ mu) = {\ Frac {\ lewo \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (2, T \ tau) \ prawo \ rangle} {\ lewo \ langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle }},}$

gdzie

${\ Displaystyle r = {\ Frac {T} {\ tau}}.}$

Funkcja odchylenia staje się po analizie

${\ Displaystyle B_ {2} (r \ mu) = {\ Frac {1 + {\ Frac {1} {2}} \ lewo [2r ^ {\ mu +2} - (r + 1) ^ {\ mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\prawo]}{2(1-2^{\mu })}}.}$

B ₃ funkcja odchylenia

Funkcja błędu systematycznego B ₃ wiąże wariancję 2- próbkową dla czasu próby MT ₀ i czasu obserwacji Mτ ₀ z wariancją 2- próbkową (wariancja Allana) i jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle B_ {3} (N M R \ mu) = {\ Frac {\ lewo \ Langle \ Sigma _ {y} ^ {2} (N M T \ tau) \ prawo \ rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }},}$

gdzie

${\displaystyle T=MT_{0},}$

${\ Displaystyle \ tau = M \ tau _ {0}.}$

B ₃ funkcja polaryzacji użyteczna jest możliwość zmiany nie nakładających się i nakładania VARIABLE τ wartości estymatora podstawie pomiarów czas martwy czas obserwacji τ ₀ oraz czasu pomiędzy obserwacjami T ₀ do normalnego szacunków czas martwy.

Funkcja bias staje się po analizie (dla przypadku N  = 2)

${\ Displaystyle B_ {3} (2, M, r, \ mu) = {\ Frac {2M + MF (Mr) - \ suma _ {n = 1} ^ {M-1} (Mn) \ lewo [2F (nr)-F{\big (}(M+n)r{\big )}+F{\big (}(Mn)r{\big )}\right]}{M^{\mu +2} [F(r)+2]}},}$

gdzie

${\ Displaystyle F (A) = 2A ^ {\ Mu + 2} - (A + 1) ^ {\ Mu + 2} - | A-1 | ^ {\ Mu + 2}.}$

funkcja odchylenia τ

Choć formalnie nie jest sformułowany, został pośrednio wywnioskowany jako konsekwencja odwzorowania α – µ . Porównując dwie miary wariancji Allana dla różnych τ , zakładając ten sam dominujący szum w postaci tego samego współczynnika µ, obciążenie można zdefiniować jako

${\ Displaystyle B_ {\ tau} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ mu) = {\ Frac {\ lewo \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (2, \ tau _{2},\tau _{2})\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{1},\tau _{1})\ prawo\rangle }}.}$

Funkcja odchylenia staje się po analizie

${\ Displaystyle B_ {\ tau } (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ mu ) = \ lewo ({\ Frac {\ tau _ {2}} {\ tau _ {1}}} \prawda)^{\mu}.}$

Konwersja między wartościami

W celu konwersji z jednego zestawu pomiarów drugiemu B ₁ , B ₂ i τ skosu funkcje mogą być montowane. Najpierw funkcja B ₁ konwertuje wartość ( N ₁ ,  T ₁ ,  τ ₁ ) na (2,  T ₁ ,  τ ₁ ), z której funkcja B ₂ konwertuje na wartość (2,  τ ₁ ,  τ ₁ ), stąd wariancja Allana w τ ₁ . Miarę wariancji Allana można przekonwertować za pomocą funkcji odchylenia τ od τ ₁ do τ ₂ , z której następnie (2,  T ₂ ,  τ ₂ ) za pomocą B _{2 ,} a następnie za pomocą B ₁ na ( N ₂ ,  T ₂ ,  τ ₂ ) wariancja. Całkowite nawrócenie staje się

${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (N_ {2}, T_ {2}, \ tau _ {2}) \ prawo \ rangle = \ lewo ({\ Frac {\ tau _ {2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2} (r_{2},\mu )}{B_{1}(N_{1},r_{1},\mu)B_{2}(r_{1},\mu)}}\prawo]\lewo\ langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle ,}$

gdzie

${\displaystyle r_{1}={\frac {T_{1}}{r_{1}}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {T_{2}}{r_{2}}}.}$

Podobnie, dla połączonych pomiarów z użyciem sekcji M , logiczne rozszerzenie staje się

${\ Displaystyle \ lewo \ Langle \ Sigma _ {y} ^ {2} (N_ {2}, M_ {2}, T_ {2}, \ tau _ {2}) \ po prawej \ rangle = \ po lewej ({\ frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{3}(N_{2},M_{2},r_{ 2},\mu )B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu)}{B_{3}(N_{1},M_ {1},r_{1},\mu )B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left \langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},M_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle .}$

Problemy z pomiarem

Podczas wykonywania pomiarów w celu obliczenia wariancji Allana lub odchylenia Allana, szereg problemów może spowodować degenerację pomiarów. Omówiono tutaj efekty specyficzne dla wariancji Allana, gdzie wyniki byłyby stronnicze.

Limity przepustowości pomiaru

Oczekuje się, że system pomiarowy będzie miał przepustowość równą lub niższą od szybkości Nyquista , jak opisano w twierdzeniu Shannona-Hartleya . Jak widać na podstawie równań mocy, modulacje szumu białego i migotania zależą od częstotliwości górnego rogu (zakłada się, że te systemy są tylko filtrowane dolnoprzepustowo). Biorąc pod uwagę właściwość filtra częstotliwości wyraźnie widać, że większy wpływ na wynik ma szum o niskiej częstotliwości. W przypadku typów hałasu stosunkowo płaska faza modulacji (np WPM i FPM), filtrowanie ma znaczenie, a dla rodzaju o większym nachyleniu hałasu górna częstotliwość graniczna stanie się mniej istotne, przy założeniu, że szerokość pasma systemu pomiarowego jest szeroki względnej podane przez ${\ Displaystyle F_ {H}}$${\ Displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle \ tau \ gg {\ Frac {1} {2 \ pi f_ {H}}}.}$

Gdy to założenie nie jest spełnione, efektywną szerokość pasma należy zanotować wraz z pomiarem. Zainteresowani powinni skonsultować się z NBS TN394. ${\ Displaystyle F_ {H}}$

Jeśli jednak dostosujemy przepustowość estymatora za pomocą całkowitych wielokrotności czasu próbkowania , wówczas wpływ przepustowości systemu może zostać zredukowany do nieistotnych poziomów. Dla potrzeb telekomunikacyjnych takie metody były wymagane, aby zapewnić porównywalność pomiarów i dać pewną swobodę dostawcom w różnych implementacjach. Zalecenie ITU-T G.813 do pomiaru TDEV. ${\displaystyle n\tau_{0}}$

Można zalecić zignorowanie pierwszych wielokrotności, tak aby większość wykrytego szumu mieściła się dobrze w paśmie przepustowym szerokości pasma systemu pomiarowego. ${\ Displaystyle \ tau _ {0}}$

Przeprowadzono dalsze prace nad wariancją Allana, aby umożliwić zmniejszenie przepustowości sprzętowej za pomocą środków programowych. Ten rozwój pasma programowego umożliwił zaadresowanie pozostałego szumu, a metoda jest obecnie określana jako zmodyfikowana wariancja Allana . Ta technika redukcji szerokości pasma nie powinna być mylona z ulepszonym wariantem zmodyfikowanej wariancji Allana , która również zmienia szerokość pasma filtra wygładzającego.

Czas martwy w pomiarach

Wiele przyrządów pomiarowych czasu i częstotliwości ma etapy czasu uzbrojenia, czasu podstawy czasu, czasu przetwarzania i może następnie ponownie wywołać uzbrojenie. Czas uzbrojenia to czas od momentu wyzwolenia uzbrojenia do wystąpienia zdarzenia startowego w kanale startowym. Podstawa czasu zapewnia wówczas, że minie minimalna ilość czasu przed zaakceptowaniem zdarzenia w kanale zatrzymania jako zdarzenia zatrzymania. Liczba zdarzeń i czas, jaki upłynął między zdarzeniem początkowym a zdarzeniem końcowym, jest rejestrowany i prezentowany w czasie przetwarzania. Gdy następuje przetwarzanie (znane również jako czas przebywania), przyrząd zwykle nie jest w stanie wykonać kolejnego pomiaru. Po zakończeniu przetwarzania przyrząd w trybie ciągłym ponownie wyzwala obwód ramienia. Czas pomiędzy zdarzeniem stop a następnym zdarzeniem startu staje się czasem martwym , podczas którego sygnał nie jest obserwowany. Taki czas martwy wprowadza systematyczne błędy pomiarowe, które należy skompensować, aby uzyskać prawidłowe wyniki. Dla takich systemów pomiarowych czas T będzie oznaczał czas pomiędzy sąsiednimi zdarzeniami początkowymi (a tym samym pomiarami), podczas gdy będzie oznaczał długość podstawy czasu, tj. nominalną długość między początkiem i końcem dowolnego pomiaru. ${\ Displaystyle \ tau}$

Wpływ czasu martwego na pomiary ma tak duży wpływ na uzyskany wynik, że przeprowadzono wiele badań pola w celu prawidłowego określenia jego właściwości. Wprowadzenie liczników zerowego czasu martwego usunęło potrzebę tej analizy. Licznik zerowego czasu martwego ma tę właściwość, że zdarzenie zatrzymania jednego pomiaru jest również używane jako zdarzenie początkowe następnego zdarzenia. Takie liczniki tworzą serię par zdarzeń i znaczników czasu, po jednej dla każdego kanału oddzielonego od podstawy czasu. Takie pomiary okazały się również przydatne w porządkowych formach analizy szeregów czasowych.

Pomiary wykonywane z czasem martwym mogą być korygowane za pomocą funkcji bias B ₁ , B ₂ i B ₃ . Zatem czas martwy jako taki nie zabrania dostępu do wariancji Allana, ale czyni go bardziej problematycznym. Musi być znany czas martwy, aby można było ustalić czas między próbkami T.

Długość pomiaru i efektywne wykorzystanie próbek

Badanie wpływu na przedziały ufności, jakie ma długość N serii próbek, oraz wpływ parametru zmiennej τ n, przedziały ufności mogą stać się bardzo duże, ponieważ efektywny stopień swobody może być mały dla pewnej kombinacji N i n dla dominującej formy szumu (dla tego τ ).

Skutkiem może być to, że oszacowana wartość może być znacznie mniejsza lub znacznie większa od wartości rzeczywistej, co może prowadzić do fałszywych wniosków dotyczących wyniku.

Zaleca się wykreślenie przedziału ufności wraz z danymi, tak aby czytelnik wykresu był świadomy niepewności statystycznej wartości.

Zaleca się, aby długość sekwencji próbek, tj. liczba próbek N była utrzymywana na wysokim poziomie, aby zapewnić, że przedział ufności jest mały w zakresie τ będącym przedmiotem zainteresowania.

Zaleca się, aby zakres τ przemiatany przez mnożnik τ ₀ n był ograniczony w górnym końcu względnym N , tak aby odczyt wykresu nie był mylony przez wysoce niestabilne wartości estymatora.

Zaleca się, aby estymatory zapewniające lepsze wartości stopni swobody były używane w celu zastąpienia estymatorów wariancji Allana lub jako ich uzupełnienie, gdy przewyższają estymatory wariancji Allana. Wśród nich należy wziąć pod uwagę estymatory wariancji całkowitej i wariancji Theo .

Dominujący rodzaj hałasu

Duża liczba stałych konwersji, korekcji odchylenia i przedziałów ufności zależy od dominującego typu szumu. Dla właściwej interpretacji, dominujący typ hałasu dla konkretnego τ będącego przedmiotem zainteresowania powinien zostać zidentyfikowany poprzez identyfikację hałasu. Niezidentyfikowanie dominującego rodzaju szumu spowoduje powstanie obciążonych wartości. Niektóre z tych błędów mogą mieć kilka rzędów wielkości, więc mogą mieć duże znaczenie.

Dryf liniowy

Systematyczne oddziaływanie na sygnał jest tylko częściowo anulowane. Offset fazy i częstotliwości jest anulowany, ale dryft liniowy lub inne postacie wielomianowych krzywych fazowych o wysokim stopniu nie zostaną anulowane, a zatem tworzą ograniczenie pomiaru. Można zastosować dopasowywanie krzywych i usuwanie systematycznego przesunięcia. Często usunięcie dryfu liniowego może być wystarczające. Można również zastosować estymatory dryfu liniowego, takie jak wariancja Hadamarda . Liniowe usuwanie dryfu można zastosować przy użyciu estymatora opartego na momencie.

Błąd estymatora przyrządu pomiarowego

Tradycyjne instrumenty zapewniały jedynie pomiar pojedynczych zdarzeń lub par zdarzeń. Wprowadzenie przez JJ Snydera ulepszonego narzędzia statystycznego nakładających się pomiarów pozwoliło na znacznie lepszą rozdzielczość odczytów częstotliwości, łamiąc tradycyjną równowagę cyfr/podstawa czasu. Chociaż takie metody są użyteczne zgodnie z ich przeznaczeniem, stosowanie tak wygładzonych pomiarów do obliczeń wariancji Allana dałoby fałszywe wrażenie wysokiej rozdzielczości, ale przy dłuższym τ efekt jest stopniowo usuwany, a dolny obszar τ pomiaru ma zniekształcone wartości. To odchylenie zapewnia niższe wartości niż powinno, więc jest to zbyt optymistyczne (zakładając, że oczekuje się niskich liczb), zmniejszające użyteczność pomiaru, a nie poprawiające go. Takie inteligentne algorytmy można zwykle wyłączyć lub w inny sposób obejść, korzystając z trybu znacznika czasu, który jest znacznie preferowany, jeśli jest dostępny.

Pomiary praktyczne

Chociaż można opracować kilka podejść do pomiaru wariancji Allana, prosty przykład może zilustrować, w jaki sposób można wykonać pomiary.

Pomiar

Wszystkie pomiary wariancji Allana będą w efekcie porównaniem dwóch różnych zegarów. Rozważ zegar referencyjny i testowane urządzenie (DUT), które mają wspólną nominalną częstotliwość 10 MHz. Licznik interwałów czasu jest używany do pomiaru czasu między narastającym zboczem odniesienia (kanał A) a narastającym zboczem testowanego urządzenia.

Aby zapewnić równomiernie rozłożone pomiary, zegar odniesienia zostanie podzielony w dół, tworząc częstotliwość pomiaru, wyzwalając licznik interwałów czasowych (wejście ARM). Ta częstotliwość może wynosić 1 Hz (przy użyciu wyjścia 1 PPS zegara referencyjnego), ale można również użyć innych częstotliwości, takich jak 10 Hz i 100 Hz. Szybkość, z jaką licznik interwałów może zakończyć pomiar, wyprowadzić wynik i przygotować się do następnego ramienia, ograniczy częstotliwość wyzwalania.

Komputer jest wtedy przydatny do rejestrowania obserwowanych serii różnic czasowych.

Przetwarzanie końcowe

Zarejestrowane szeregi czasowe wymagają przetwarzania końcowego w celu rozwinięcia zawiniętej fazy, tak że występuje błąd fazy ciągłej. W razie potrzeby należy również naprawić błędy rejestrowania i pomiaru. Należy przeprowadzić oszacowanie dryfu i usunięcie dryfu, mechanizm dryfu musi zostać zidentyfikowany i zrozumiany dla źródeł. Ograniczenia dryftu w pomiarach mogą być poważne, dlatego konieczne jest ustabilizowanie oscylatorów przez wystarczająco długi czas włączenia.

Wariancję Allana można następnie obliczyć przy użyciu podanych estymatorów, a ze względów praktycznych estymator nakładający się powinien być używany ze względu na lepsze wykorzystanie danych w stosunku do estymatora nienakładającego się. Inne estymatory, takie jak estymatory wariancji całkowitej lub Theo, mogą być również używane, jeśli stosuje się korekty błędu systematycznego w taki sposób, że zapewniają wyniki zgodne z wariancją Allana.

Aby utworzyć klasyczne wykresy, odchylenie Allana (pierwiastek kwadratowy z wariancji Allana) wykreśla się w formacie log-log względem przedziału obserwacji  τ .

Sprzęt i oprogramowanie

Licznik przedziałów czasowych jest zwykle dostępnym w handlu licznikiem z półki. Czynniki ograniczające obejmują rozdzielczość pojedynczego strzału, jitter spustu, szybkość pomiarów i stabilność zegara odniesienia. Gromadzenie danych komputerowych i przetwarzanie końcowe może odbywać się przy użyciu istniejącego oprogramowania komercyjnego lub oprogramowania znajdującego się w domenie publicznej. Istnieją wysoce zaawansowane rozwiązania, które zapewnią pomiary i obliczenia w jednym pudełku.

Historia badań

Dziedzina stabilności częstotliwości była badana od dawna. Jednak w latach 60. stwierdzono, że brakowało spójnych definicji. Sympozjum NASA-IEEE na temat stabilności krótkoterminowej w listopadzie 1964 roku zaowocowało specjalnym wydaniem w lutym 1966 roku IEEE Proceedings on Frequency Stability.

Sympozjum NASA-IEEE połączyło wiele dziedzin i zastosowań stabilności krótko- i długoterminowej, z artykułami od wielu różnych autorów. Artykuły i dyskusje panelowe są zgodne co do istnienia migotania częstotliwości i pragnienia wypracowania wspólnej definicji zarówno krótko-, jak i długoterminowej stabilności.

Ważne artykuły, w tym Davida Allana, Jamesa A. Barnesa, LS Cutlera oraz CL Searle'a i DB Leesona, pojawiły się w IEEE Proceedings on Frequency Stability i pomogły ukształtować to pole.

Artykuł Davida Allana analizuje klasyczną wariancję częstotliwości w próbce M , poruszając kwestię czasu martwego między pomiarami wraz z początkową funkcją odchylenia. Chociaż początkowa funkcja odchylenia Allana nie zakłada czasu martwego, jego formuły zawierają obliczenia czasu martwego. Jego artykuł analizuje przypadek próbek o częstości M (zwanych w artykule N) oraz estymatorów wariancji. Zapewnia standardowe obecnie mapowanie α–µ, wyraźnie oparte na pracy Jamesa Barnesa w tym samym wydaniu.

Przypadek wariancji 2-próbki jest szczególnym przypadkiem wariancji próby M , która daje średnią z pochodnej częstotliwości. Allan domyślnie wykorzystuje wariancję 2-próbkową jako przypadek bazowy, ponieważ dla arbitralnie wybranego M , wartości mogą być przenoszone przez wariancję 2- próbkową do wariancji M -próbki . Nie określono wyraźnie preferencji dla wariancji 2 próbek, nawet jeśli zapewniono narzędzia. Jednak artykuł ten położył podwaliny pod użycie wariancji 2 próbek jako sposobu porównywania innych wariancji próbek M.

James Barnes znacznie rozszerzył prace nad funkcjami biasu, wprowadzając nowoczesne funkcje biasu B ₁ i B ₂ . Co ciekawe, odnosi się on do wariancji próbki M jako „wariancji Allana”, odnosząc się do artykułu Allana „Statystyka wzorców częstotliwości atomowej”. Dzięki tym nowoczesnym funkcjom odchylenia można było przeprowadzić pełną konwersję między miarami wariancji M- próbek dla różnych wartości M , T i τ , poprzez konwersję przez wariancję 2-próbek.

James Barnes i David Allan dodatkowo rozszerzyli funkcje obciążenia o funkcję B _3, aby obsłużyć obciążenie estymatora połączonych próbek. Było to konieczne, aby poradzić sobie z nowym wykorzystaniem połączonych obserwacji próbek z czasem martwym pomiędzy nimi.

W 1970 r. Komitet Techniczny IEEE ds. Częstotliwości i Czasu, działający w ramach Grupy IEEE ds. Oprzyrządowania i Pomiarów, przedstawił podsumowanie tej dziedziny, opublikowane jako Notatka techniczna NBS 394. Dokument ten był pierwszym z szeregu bardziej edukacyjnych i praktycznych artykułów pomagających kolegom inżynierowie rozumieją dziedzinę. Artykuł ten zalecał wariancję 2-próbową z T = τ , nazywając ją wariancją Allana (teraz bez cudzysłowów). Wybór takiej parametryzacji pozwala na dobrą obsługę niektórych form szumu i uzyskanie porównywalnych pomiarów; zasadniczo jest najmniejszy wspólny mianownik pomocą na funkcji polaryzacji B ₁ i B ₂ .

JJ Snyder zaproponował ulepszoną metodę estymacji częstotliwości lub wariancji, wykorzystującą przykładowe statystyki do liczników częstotliwości. Aby uzyskać bardziej efektywne stopnie swobody z dostępnego zbioru danych, sztuczka polega na użyciu nakładających się okresów obserwacji. Zapewnia to √ n poprawy, a powstała w nakładających Allan wariancji estymatora . Włączono również przetwarzanie programowe zmiennej τ. Ten rozwój ulepszył klasyczne estymatory wariancji Allana, zapewniając również bezpośrednią inspirację dla prac nad zmodyfikowaną wariancją Allana .

Howe, Allan i Barnes przedstawili analizę przedziałów ufności, stopni swobody i ustalonych estymatorów.

Zasoby edukacyjne i praktyczne

Dziedzina czasu i częstotliwości oraz jej wykorzystanie wariancji Allana, odchylenia Allana i przyjaciół to dziedzina obejmująca wiele aspektów, dla których zarówno zrozumienie pojęć, jak i praktyczne pomiary oraz przetwarzanie końcowe wymaga troski i zrozumienia. W ten sposób dostępna jest sfera materiałów edukacyjnych trwających około 40 lat. Ponieważ odzwierciedlają one rozwój badań w ich czasach, koncentrują się na nauczaniu różnych aspektów w czasie, w którym to przypadku przegląd dostępnych zasobów może być odpowiednim sposobem na znalezienie odpowiedniego zasobu.

Pierwszym znaczącym podsumowaniem jest uwaga techniczna NBS 394 „Charakterystyka stabilności częstotliwości”. Jest to produkt Komitetu Technicznego ds. Częstotliwości i Czasu Grupy IEEE ds. Oprzyrządowania i Pomiarów. Daje pierwszy przegląd pola, określając problemy, definiując podstawowe definicje pomocnicze i przechodząc do wariancji Allana, funkcje odchylenia B ₁ i B ₂ , konwersję miar w dziedzinie czasu. Jest to przydatne, ponieważ jest jednym z pierwszych odniesień do zestawienia wariancji Allana dla pięciu podstawowych typów szumu.

Klasycznym odniesieniem jest monografia NBS 140 z 1974 roku, która w rozdziale 8 zawiera „Statystykę analizy danych czasu i częstotliwości”. Jest to rozszerzony wariant uwagi technicznej NBS 394 i dodaje zasadniczo techniki pomiarowe i praktyczne przetwarzanie wartości.

Ważnym uzupełnieniem będą właściwości źródeł sygnału i metod pomiarowych . Obejmuje efektywne wykorzystanie danych, przedziały ufności, efektywny stopień swobody, a także wprowadzenie nakładającego się estymatora wariancji Allana. Jest to bardzo polecana lektura na te tematy.

Norma IEEE 1139 Standardowe definicje wielkości fizycznych dla podstawowych metrologii częstotliwości i czasu wykraczają poza standard i są obszernym źródłem informacji i materiałów edukacyjnych.

Nowoczesną książką skierowaną do telekomunikacji jest Stefano Bregni „Synchronizacja cyfrowych sieci telekomunikacyjnych”. To podsumowuje nie tylko dziedzinę, ale także wiele jego badań w tej dziedzinie do tego momentu. Ma on na celu uwzględnienie zarówno środków klasycznych, jak i środków specyficznych dla telekomunikacji, takich jak MTIE. Jest przydatnym towarzyszem przy pomiarach związanych ze standardami telekomunikacyjnymi.

Specjalna publikacja NIST 1065 „Podręcznik analizy stabilności częstotliwości” WJ Rileya jest zalecaną lekturą dla każdego, kto chce zająć się tą dziedziną. Jest bogaty w referencje, a także obejmuje szeroki zakres miar, błędów systematycznych i powiązanych funkcji, które powinien mieć współczesny analityk. Dalej opisuje ogólne przetwarzanie potrzebne do nowoczesnego narzędzia.

Zastosowania

Wariancja Allana jest wykorzystywana jako miara stabilności częstotliwości w różnych precyzyjnych oscylatorach, takich jak oscylatory kryształowe , zegary atomowe i lasery o stabilizowanej częstotliwości w ciągu sekundy lub dłużej. Stabilność krótkoterminowa (poniżej sekundy) jest zwykle wyrażana jako szum fazowy . Allan wariancja jest również stosowane do scharakteryzowania stabilności polaryzacji żyroskopy , w tym włókna żyroskopów światłowodowych , półkolistych żyroskopów rezonatora i MEMS żyroskopy i przyspieszeniomierzy.

50. rocznica

W 2016 roku IEEE-UFFC zamierza opublikować „Wydanie specjalne z okazji 50. rocznicy Allan Variance (1966-2016)”. Redaktorem gościnnym tego wydania będzie były kolega Davida z NIST , Judah Levine, który jest ostatnim laureatem II Nagrody Rabi .

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Zasoby dydaktyczne UFFC dotyczące kontroli częstotliwości
• Narzędzie do wyszukiwania publikacji NIST
• Przegląd Allan Variance Davida W. Allana
• Oficjalna strona internetowa Davida W. Allana
• Publikacje JPL – Analiza i statystyka hałasu
• Publikacje Williama Rileya
• Stable32 , oprogramowanie do analizy stabilności częstotliwości, William Riley
• Publikacje Stefano Bregni
• Publikacje Enrico Rubioli
• Allanvar: pakiet R do charakteryzowania błędów czujnika za pomocą Allan Variance
• Oprogramowanie Windows Alavar z narzędziami do raportowania; Oprogramowanie bezpłatne
• AllanTools open-source biblioteka Pythona dla wariancji Allan
• MATLAB AVAR open-source aplikacja MATLAB