Prawdziwe matryce 2 × 2 - 2 × 2 real matrices

W matematyce The asocjacyjny Algebra od 2 x 2 rzeczywistym macierzy są oznaczane przez M (2,  R ). Dwie macierze p i q w M (2,  R ) mają sumę p  +  q określoną przez dodanie macierzy . Macierz iloczynu p q jest utworzona z iloczynu skalarnego wierszy i kolumn jego współczynników poprzez mnożenie macierzy . Dla

${\ displaystyle q = {\ początek {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}},}$

pozwolić

${\ displaystyle q ^ {*} = {\ początek {pmatrix} d & -b \\ - c & a \ koniec {pmatrix}}.}$

Wtedy q q ^* = q ^*   q = ( ad - bc ) I , gdzie I jest macierzą tożsamości 2 × 2 . Rzeczywista liczba ad  -  bc nazywa się wyznacznik z q . Gdy ad  -  bc  ≠ 0, q jest odwracalną macierzą , a zatem

${\ Displaystyle q ^ {- 1} = {\ Frac {q ^ {*}} {ad-bc}}.}$

Zbiór wszystkich takich odwracalnych macierzy tworzy ogólną grupę liniową GL (2,  R ). W kategoriach algebry abstrakcyjnej M (2,  R ) wraz z powiązanymi operacjami dodawania i mnożenia tworzy pierścień , a GL (2,  R ) jest jego grupą jednostek . M (2,  R ) jest również czterowymiarową przestrzenią wektorową , więc jest uważana za algebrę asocjacyjną .

W 2 x 2 rzeczywiste matryce są w jedno-korespondencji z liniowego odwzorowania na dwuwymiarowym układzie współrzędnych kartezjańskich do siebie przez regułę

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} \ mapsto {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} ax + by \\ cx + dy \ end {pmatrix}}.}$

W następnej sekcji wyświetla się M (2, R ) jest sumą płaskich przekrojów, które zawierają rzeczywistą linię. M (2, R ) jest pierścieniem izomorficznym z podzielonymi kwaternionami , gdzie istnieje podobny związek, ale z zestawami indeksów, które są hiperboloidami.

Scharakteryzowano matryce, które zachowują obszar po nałożeniu na płaszczyznę. Wtedy pierwiastek kwadratowy i funkcja logarytmiczna są uwzględniane w M (2, R). Z każdym elementem pierścienia związany jest rodzaj liczby zespolonej. Opisano zastosowanie macierzy do zapewnienia transformacji rzutowych rzeczywistej linii rzutowej.

Profil

W obrębie M (2,  R ) wielokrotności przez liczby rzeczywiste macierzy tożsamości I można uznać za linię rzeczywistą . Ta prawdziwa linia to miejsce, w którym spotykają się wszystkie przemienne podpierścienie :

Niech P _m  = { x I  +  ym  :  x ,  y  ∈  R } gdzie m ²  ∈ {- I , 0,  I  }. Wtedy P _m jest przemiennym składnikiem, a M (2,  R ) = ⋃ P _m,   gdzie suma jest nad całym m taka, że m ²  ∈ {- I , 0,  I  }.

Aby zidentyfikować takie m , najpierw podnieś do kwadratu ogólną macierz:

${\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} aa + bc & ab + bd \\ ac + cd i bc + dd \ end {pmatrix}}.}$

Gdy a + d = 0, ten kwadrat jest macierzą diagonalną .

W związku z tym , szukając m, aby utworzyć przemienne podpierścienie, przyjmuje się d  = - a . Gdy mm  = - I , to bc  = −1 -  aa , równanie opisujące paraboloidę hiperboliczną w przestrzeni parametrów ( a ,  b ,  c ). Takie m służy jako wyimaginowana jednostka . W tym przypadku P _m jest izomorficzne z ciałem (zwykłych) liczb zespolonych .

Gdy mm  = + I , m jest macierzą nieuzasadnioną . Wtedy bc  = +1 -  aa , również dając paraboloidę hiperboliczną. Jeśli macierz jest macierzą idempotentną , musi leżeć w takim P _m iw tym przypadku P _m jest izomorficzna z pierścieniem podzielonych liczb zespolonych .

Przypadek zerowej macierzy , mm  = 0, powstaje, gdy tylko jedna z b lub c jest różna od zera, a przemienna podstawa P _m jest wtedy kopią podwójnej płaszczyzny liczbowej .

Kiedy M (2,  R ) jest rekonfigurowana ze zmianą podstawy , ten profil zmienia się na profil podzielonych kwaternionów, w których zbiory pierwiastków kwadratowych I i - I przybierają symetryczny kształt jak hiperboloidy .

Mapowanie równoobszarowe

Najpierw przekształć jeden wektor różniczkowy w inny:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} du \\ dv \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} p & r \\ q & s \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} dx \\ dy \ end {pmatrix }} = {\ begin {pmatrix} p \, dx + r \, dy \\ q \, dx + s \, dy \ end {pmatrix}}.}$

Obszary są mierzone gęstością , różnicową formą 2, która wymaga użycia zewnętrznej algebry . Przekształcona gęstość jest ${\ displaystyle dx \ wedge dy}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} du \ klin dv & = 0 + ps \ dx \ klin dy + qr \ dy \ klin dx + 0 \\ & = (ps-qr) \ dx \ klin dy \\ & = \ det (g) \ dx \ wedge dy. \ end {wyrównane}}}$

Zatem odwzorowania równopowierzchniowe są identyfikowane przez SL (2, R)  = { g  ∈ M (2, R): det ( g ) = 1}, specjalną grupę liniową . Biorąc pod uwagę powyższy profil, każde takie g leży w przemiennym składniku P _m reprezentującym typ złożonej płaszczyzny zgodnie z kwadratem m . Ponieważ g g ^*  =  I , występuje jedna z następujących trzech alternatyw:

• mm = - I , a g jest na okręgu o euklidesowych obrotów ; lub
• mm = ja i g jest hiperbolę mapowania ściskających ; lub
• mm = 0, a g znajduje się na linii odwzorowań ścinania .

Pisząc o planarnym odwzorowaniu afinicznym , Rafael Artzy dokonał podobnej trychotomii płaskiego, liniowego mapowania w swojej książce Linear Geometry (1965).

Funkcje rzeczywistych macierzy 2 × 2

Przemienne podpierścienie M (2,  R ) określają teorię funkcji; w szczególności te trzy typy podpłaszczyzn mają swoje własne struktury algebraiczne, które określają wartość wyrażeń algebraicznych. Rozważenie funkcji pierwiastka kwadratowego i funkcji logarytmu służy do zilustrowania ograniczeń wynikających ze specjalnych właściwości każdego typu podpłaszczyzny P _m opisanych w powyższym profilu. Pojęcie elementu osobistego z grupy jednostek kwasu p _m , prowadzi do polarnego rozkładu pierwiastków z grupy jednostek:

• Jeśli mm = - I , to z = ρ exp (θ m ).
• Jeśli mm = 0, to z = ρ exp (s  m ) lub z = −ρ exp (s  m ).
• Jeśli mm =   I , to z = ρ exp ( a m ) lub z = −ρ exp ( a m ) lub z =  m  ρ exp ( a m ) lub z = - m  ρ exp ( a m ).

W pierwszym przypadku exp (θ  m ) = cos (θ) +  m  sin (θ). W przypadku liczb podwójnych exp ( s m ) = 1 +  s m . Wreszcie, w przypadku rozdzielonych liczb zespolonych, w grupie jednostek występują cztery składowe. Składnik tożsamości jest sparametryzowany przez ρ i exp ( a m ) = cosh ( a ) +  m  sinh ( a ).

Teraz niezależnie od podpłaszczyzny P _m , ale argument funkcji należy wziąć ze składnika tożsamości jego grupy jednostek . W przypadku struktury podwójnej liczby traci się połowę płaszczyzny; w przypadku podzielonej struktury liczb zespolonych należy wykluczyć trzy czwarte płaszczyzny. ${\ textstyle {\ sqrt {\ rho \ \ exp (am)}} = {\ sqrt {\ rho}} \ \ exp \ left ({\ frac {1} {2}} am \ right)}$

Podobnie, jeśli ρ exp ( a m ) jest elementem składowej tożsamości grupy jednostek płaszczyzny skojarzonej z macierzą  2 × 2 m , to funkcja logarytmu daje w wyniku wartość log ρ +  am . Domena funkcji logarytmu cierpi same ograniczenia jak czyni to funkcja pierwiastek opisano powyżej: pół lub trzy czwarte P _m muszą być wykluczone w przypadkach mm = 0 albo mm =  I .

Dalszą teorię funkcji można zobaczyć w artykule funkcje zespolone dla struktury C lub w zmiennej motorycznej artykułu dla struktury podzielonego zespołu złożonego.

Macierze rzeczywiste 2 × 2 jako liczby zespolone

Każdy 2 x 2 rzeczywistym macierzy mogą być interpretowane jako jeden z trzech rodzajów (ogólny) na liczbach zespolonych: Standardowy liczb zespolonych , podwójne numery i numery split-kompleks . Powyżej algebra macierzy 2 × 2 jest sprofilowana jako suma złożonych płaszczyzn, z których wszystkie mają tę samą rzeczywistą oś. Płaszczyzny te są przedstawiane jako przemienne podpierścienie P _m . Można określić, do której płaszczyzny zespolonej należy dana macierz 2 × 2 w następujący sposób i sklasyfikować rodzaj liczby zespolonej, którą ta płaszczyzna reprezentuje.

Rozważmy macierz 2 × 2

${\ displaystyle z = {\ początek {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}}.}$

Płaszczyzna zespolona P _m zawierająca z jest następująca.

Jak wspomniano powyżej, kwadrat macierzy z jest przekątną, gdy a + d = 0. Macierz z musi być wyrażona jako suma wielokrotności macierzy identyczności I i macierzy w hiperpłaszczyźnie a + d = 0. Rzutowanie z naprzemiennie na te podprzestrzenie R ⁴ daje

${\ displaystyle z = xI + n, \ quad x = {\ frac {a + d} {2}}, \ quad n = z-xI.}$

Ponadto,

${\ Displaystyle n ^ {2} = PI}$ gdzie . ${\ Displaystyle p = {\ Frac {(reklama) ^ {2}} {4}} + bc}$

Teraz z jest jednym z trzech typów liczb zespolonych:

• Jeśli p <0, to jest to zwykła liczba zespolona :

  Niech . Wtedy . ${\ displaystyle q = 1 / {\ sqrt {-p}}, \ quad m = qn}$${\ displaystyle m ^ {2} = - ja, \ quad z = xI + m {\ sqrt {-p}}}$

• Jeśli p = 0, to jest to liczba podwójna :

  ${\ displaystyle z = xI + n}$ .

• Jeśli p > 0, to z jest podzieloną liczbą zespoloną :

  Niech . Wtedy . ${\ displaystyle q = 1 / {\ sqrt {p}}, \ quad m = qn}$${\ displaystyle m ^ {2} = + ja, \ quad z = xI + m {\ sqrt {p}}}$

Podobnie, macierz 2 × 2 można również wyrazić we współrzędnych biegunowych z zastrzeżeniem, że istnieją dwa połączone składowe grupy jednostek w płaszczyźnie liczb podwójnych i cztery składowe w płaszczyźnie liczby zespolonej podzielonej.

Grupa projekcyjna

Dana macierz rzeczywista 2 × 2 z ad ≠ bc działa na współrzędne rzutowe [ x  : y ] rzeczywistej linii rzutowej P (R) jako liniowe przekształcenie ułamkowe :

${\ Displaystyle [x: y] {\ zacząć {pmatrix} a & c \\ b & d \ koniec {pmatrix}} \ = \ [topór + przez: \ cx + dy].}$ Gdy cx + dy = 0, punkt obrazu jest punktem w nieskończoności , w przeciwnym razie

${\ Displaystyle [topór + przez: \ cx + dy] \ \ thicksim \ lewo [{\ Frac {topór + by} {cx + dy}}: \ 1 \ w prawo].}$

Zamiast działać na płaszczyźnie, jak w powyższej sekcji, macierz działa na linii rzutowej P (R), a wszystkie macierze proporcjonalne działają w ten sam sposób.

Niech p = ad - bc ≠ 0. Wtedy

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} d & -c \\ - b & a \ end {pmatrix}} \ = \ {\ begin {pmatrix} p & 0 \\ 0 & p \ end {pmatrix}}.}$

Działanie tej macierzy na prawdziwej linii rzutowej to

${\ Displaystyle [x: y] {\ rozpocząć {pmatrix} p & 0 \\ 0 & p \ koniec {pmatrix}} \ = \ [piks: py] \ thicksim [x: y]}$ ze względu na współrzędne rzutowe, tak że działanie jest takie, jak mapowanie tożsamości na rzeczywistej linii rzutowej. W związku z tym,

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}} \ {\ text {i}} \ {\ begin {pmatrix} d & -c \\ - b & a \ end {pmatrix}}}$ działają jak multiplikatywne odwrotności .

Grupa rzutowa zaczyna się od grupy jednostek GL (2, R) z M (2, R), a następnie wiąże dwa elementy, jeśli są proporcjonalne, ponieważ proporcjonalne działania na P (R) są identyczne:

PGL (2, R) = GL (2, R) / ~ gdzie ~ odnosi się do macierzy proporcjonalnych. Każdy element rzutowej grupy liniowej PGL (2, R) jest klasą równoważności pod ~ proporcjonalnych rzeczywistych macierzy 2 × 2.

Zobacz też

• Liniowa transformacja kanoniczna

Bibliografia

• Rafael Artzy (1965) Linear Geometry , rozdział 2-6 Subgroups of the Plane Affine Group over the Real Field, s. 94, Addison-Wesley .
• Helmut Karzel & Gunter Kist (1985) "Kinematic Algebras and their Geometries", znalezione w
  • Rings and Geometry , R. Kaya, P. Plaumann i K. Strambach redaktorzy, s. 437–509, szczególnie 449,50, D. Reidel ISBN   90-277-2112-2 .
• Svetlana Katok (1992) Fuchsian groups , str. 113 i nast., University of Chicago Press ISBN   0-226-42582-7 .
• Garret Sobczyk (2012). „Rozdział 2: Liczby złożone i hiperboliczne”. Nowe podstawy matematyki: geometryczne pojęcie liczby . Birkhäuser. ISBN   978-0-8176-8384-9 .